剖析对数函数中的三大难点对数函数是高中数学中的一个重要函数，也是高考的热点知识之一．学习对数函数时会遇到一些难点，使解题思维陷入困境，究其原因主要有三大难点．难点一：底数不统一对数的运算性质及相关的知识都是建立在底数相同的基础上的，但在实际问题中，对数的运算、变形却经常要遇到底数不相同的情况，出现这种情形，该如何来突破呢？主要有三种处理方法：①化指数式．对数函数与指数函数互为反函数，所以它们之间有着密切的关系：logaNb即为baN，因此在处理有关对数中遇到的问题时，经常将对数式化为指数式来帮助解决．②利用换底公式统一底数．换底公式的主要功能就是将底数不相同的对数通过换底把底数统一起来，然后再运用相关的性质与法则进行求解．③利用函数图象．函数的图象是函数的另一重要方面，它可以将函数的有关性质直观显现，因此，当对数的底数不相同时，可以借助对数函数的图象的直观性来加以理解和寻求解题的思路．例1若1100abab，，，，且满足关系式2log2log4log3aab，求ab，的值．分析：已知关系式中包含三个别底数不相同的对数式，因此可设2log2log4log3aabm，转化为指数式来解决．解：设2log2log4log3aabm，则2ma，42ma，22mmaa，即22mmmaa．由于0ma，122m，1m．log2log31ab，1123ab，．例2设2log3a，3log7b，求42log56的值．分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计算，所以应该首先考虑统一底数，从条件看应该把底数统一为3．解：由2log3a，可得31log2a，所以，33342333log56log73log23log56log42log2log711ababa．例3若log2log20ab，则ab，满足的关系是（）用心爱心专心Ａ．1abＢ．1baＣ．01abＤ．01ba分析：此题由于两个对数式底数不同，但是真数相同，所以可以把两个对数式看成是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值，可通过图象来分析．解：log2log2ab，可以看成是对数函数logayx，logbyx在2x时的两个函数值，画出它们的大致图象（如右图），显然ab，均小于1，根据对数函数的底数和图象的关系可得：01ba，故选（Ｄ）．难点二：真数是和差的形式对数的运算性质的主要功能是将运算级别较高的降低为级别较低的运算，而和与差是运算中的最低级别，所以在处理真数是和差形式的对数问题时，难度就较大，主要有两种处理方法：①整体考虑；②对真数因式分解．例4若实数x满足222log(21)log(24)3xx，求x的值．分析：已知关系式既有对数的相乘，又有真数的差，要将此式进行转化，可以把2log(21)x看成整体，再对22log(24)x的真数因式分解．解：由222log(21)log(24)3xx，得22log(21)log4(21)3xx，所以22log(21)2log(21)3xx，所以222log(21)2log(21)30xx，解得2log(21)1x，或2log(21)3x，故有2log3x，或29log8x．难点三：对数与对数相乘对于对数与对数相乘，运用对数的运算性质是很难解决的．因此，在解决此类问题时，要根据所给的关系式认真分析其结构特点．其求解主要有三种方法：①利用换底公式；②整体考虑；③化各对数为和差的形式．例5设23456783log3log4log5log6log7log8loglog27m，求m的值．分析：已知等式是七个对数之积，其特点是：从第二个对数开始的每一个对数的底数是前一个对数的真数，因此，我们可以采用换底公式将各对数换成以2为底的两个对数的商，然后约分达到目的．解：2345678log3log4log5log6log7log8logm用心爱心专心22222222222222log4log5log6log7log8loglog3loglog3log4log5log6log7log8mm．23loglog273m，8m．例6已知2222(log)7log30xx≤，求函数22loglog24xxy的值域．分析：所求函数的解析式是两个对数的积的形式，可利用对数的运算性质将其化为两个差的积．解：由2222(log)7log30xx≤，得21log32x≤≤．函数22222231loglog(log1)(log2)log2424xxyxxx．当23log2x，即22x时，min14y；当2log3x，即8x时，max2y．所以函数的值域为124，．用心爱心专心
