1.6三角函数模型的简单应用更上一层楼基础•巩固1.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x，都有f(x+)=f(-x)，则f()等于()A.0B.3C.-3D.3或-3思路分析：由f(x+)=f(-x)，可知函数f(x)关于直线x=对称，所以f()=±3.答案：D2.设函数y=sin(ωx+φ)+1(ω＞0)的一段图象如图1-611所示，则周期T、初相φ的值依次为()A.π，B.2π，C.π，D.2π，图1-6-11思路分析：T=2(-)=π，所以此时y=sin(2x+φ)+1，因为(，0)是使函数f(x)=sin(2x+φ)取最小值的点，所以2x+φ=+2kπ，φ=-2×-+2kπ=+2kπ，k∈Z，可取φ=.答案：C3.已知函数y=f(x)的图象如图1-6-12，则函数y=f(-x)sinx在［0，π］上的大致图象是()图1-6-12图1-6-13思路分析：当0＜x＜时，0＜-x＜，显然y=f(-x)sinx＞0，排除C、D；当＜x＜π时，，显然y=f(-x)sinx＜0，排除B.所以只有A符合题意.答案：A4.已知函数f(x)=的图象上相邻的一个最大值与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上，则f(x)的最小正周期是()A.1B.2C.3D.4思路分析：由三角函数的周期性可知点()在圆x2+y2=k2上，所以.解得k=±2.此时，函数的最小正周期是.答案：D5.函数y=sin(2x+)与y轴最近的对称轴方程是K__________.思路分析：函数y=sin(2x+)的对称轴方程是2x+=kπ+，即x=kπ+，k∈Z，显然k=0时，x=，它离y轴最近.答案：x=6.函数y=sin(kx+)的周期为T，且T∈(1，3)，则最大正整数k=___________.思路分析：由题意可知1＜＜3，因为k∈N，所以k=3，4，5，6.此时k=6.答案：6综合•应用7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0+3π，-2).(1)求f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，然后再将所得图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.解：(1)由题意可知A=2，T=2［(x0+3π)-x0］=6π.又由ω＞0，=6π，得ω=，此时f(x)=2sin(x+φ).又因为该函数经过点(0，1)，所以2sinφ=1，即sinφ=因为|φ|＜，所以φ=.所以f(x)=2sin(x+).(2)由题意知g(x)=2sin(x-)，该函数的周期T=2π，我们先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.列表：xx-0π2π2sin(x-)020-20描点画图：图1-6-148.设函数f(x)=sin(ωx+φ)()，ω＞0，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=对称；②它的图象关于点(，0)对称；③它的周期是π；④它在区间［，0］上是增函数.以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明.解：由题可知：若①③成立，则②④成立；若②③成立，则①④成立.现在我们以①③为条件求出函数解析式，证明②④成立.因为该函数的周期是π，所以ω==2.又因为该函数关于直线x=对称，所以当x=时，y取最值.由sin(2×+φ)=1或sin(2×+φ)=-1，，得φ=.所以f(x)=sin(2x+).当x=时，因为f()=sin(2×+)=sinπ=0，所以②成立；当x∈［-，0］时，因为(2x+)∈［0，］，所以f(x)=sin(2x+)是增函数，即④成立，即若①③成立，则②④成立.回顾•展望9.(2006海南统考)设关于x的方程sin(2x+)=在［0，］内有两个不同根α、β，求α+β的值及k的取值范围.思路分析：可在同一坐标系中画出函数y=sin(2x+)及的图象，借助于图象的直观性求解.解：设C：y=sin(2x+)，l：，在同一坐标系中作出它们的图象如下图.由图易见当时，即0≤k＜1时，直线l与曲线C有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可看出α、β关于x=对称，故α+β=.综上,可知0≤k＜1，且α+β=.
