第45课数列综合应用1．（2008年高考）记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A．2B．3C．6D．7【答案】B【解析】，选B．2．已知数列)0,(nnaNna，则“21nnnaaa”是“na是等比数列”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．以上都不是3．（2010年高考）已知数列为等比数列，是它的前项和．若且与的等差中项为，则A．35B．33C．31D．29【答案】C二、填空题：4．已知数列的前项和，则其通项公式为5．（2011年高考）已知是递增等比数列，，则此数列的公比．【答案】2【解析】∵，∴或（舍去）．6．已知等比数列na中，各项都是正数，且1321,,22aaa成等差数列，则公比q__________7．（2013年高考）设数列是首项为，公比为的等比数列，则________．【答案】【解析】依题意，∴．8.（2014年高考）等比数列的各项均为正数，且，则.【答案】.1【解析】试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，，.考点：本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题.三．解答题10．（2014年重庆）已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和．(1)求及；(2)设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.解：(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．11.（由2014年高考）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有【答案】（1）；（2）；.【解析】（1）令得：，即，，2，，即；（2）由，得，，，从而，，所以当时，，又，；（3）解法一：当时，，.证法二：当时，成立，当时，，则3.12．已知函数（为常数且）满足，有唯一解。（1）求的表达式；（2）记，且，求数列的通项公式。（3）记，求数列的前n项和为解析：（1）∵xxf)(有唯一解，∴，即有两个相等实根，即由，，得，所以所以的表达式（2），，即，所以数列是等差数列，其中首项，公差为，即（3）…………①…………②4由①－②，得从而，数列的前项和为12.（2012年广东）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．（1）求的值；（2）求：用表示的表达式（3）求数列的通项公式．【解析】（1）当时，，∵，∴，∴，(2)当时，，∵当时，∴，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，∵，∴，．14．（2013年高考）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且、、构成等比数列．（1）证明:；（2）求数列的通项公式；（3）证明:对一切正整数，有．【解析】（1）在中令，可得，而，∴．（2）由可得()．5两式相减，可得，即，∵，∴，于是数列把第1项去掉后，是公差为2的等差数列．由、、成等比数列可得，即，解得，由可得，于是，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴．（3）∵，∴．6
