课下能力提升(十一)函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质一、选择题1．(福建高考)函数f(x)＝sin的图像的一条对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－2．函数y＝sin的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．(新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝()A.B.C.D.4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增加的B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增加的C．f(x)在区间[3π，5π]上是减少的D．f(x)在区间[4π，6π]上是减少的二、填空题5．函数y＝2cos的周期为4π(ω∈R)，则ω＝________________．6．函数y＝2sin上的值域是________________．7．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，则实数k的范围是________．8．若ω>0，函数f(x)＝2sinωx在上是增加的，则ω的取值范围是________．三、解答题9．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．答案1．解析：选Cf(x)＝sin的图像的对称轴为x－＝kπ＋，(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.2．解析：选By＝sin(2x＋π)＝cos2x，∴是偶函数．3．解析：选A由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<π，所以φ＝.4．解析：选A∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，∵－π＜φ≤π，∴φ＝.可得f(x)＝2sin在区间[－2π，0]上是增加的．5．解析：因为y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝，所以T＝＝4π，即|ω|＝，所以ω＝±.答案：±6．解析：∵－≤x≤，∴－≤x－≤.∴－1≤sin(x－)≤，故y∈[－2，1]．答案：[－2，1]7．解：令y1＝sin(x＋)，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像，(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k<时，直线y2＝k与曲线y1＝sin(x＋)在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k<时，原方程有两个解．答案：[1，)8．解析：由－≤ωx≤，得f(x)的一个递增区间为.由题设得⊆.，∴0<ω≤.答案：(0，]9．解：(1)∵直线x＝是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴，∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∵－π<φ<0，∴φ＝－.(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.∴函数y＝sin的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．10．解：∵f(x)在R上是偶函数，∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ≤π，∴φ＝.由图像关于M(π，0)对称可知，sin(πω＋)＝0，即ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝k－，k∈Z.又f(x)在上是单调函数，所以T≥π，即≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k＝1时，ω＝，当k＝2时，ω＝2.
