限时规范训练六空间位置关系证明与空间角的计算(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.(1)求证：PD∥平面AMC；(2)若AB＝1，求二面角BACM的余弦值．解：(1)证明：连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM，因为四边形ABCD为平行四边形，所以点O为BD的中点，又因为M为PB的中点，所以OM为△PBD的中位线，所以OM∥PD，又因为OM⊂平面AMC，PD⊄平面AMC，所以PD∥平面AMC.(2)因为BC⊥平面PAB，AD∥BC，所以AD⊥平面PAB，又因为PA⊥AB，所以AB，AD，AP两两垂直，故可以建立空间直角坐标系Axyz(如图所示)，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，M.所以AB＝(1,0,0)，AC＝(1,2,0)，AM＝，因为PA⊥平面ABCD，故平面ABC的一个法向量为AP＝(0,0,2)，设平面AMC的法向量n＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝1，则x1＝－2，y1＝1，可取n＝(－2,1,1)，从而cos〈AP，n〉＝＝＝，故所求二面角BACM的余弦值为.2．(2016·河南省郑州市高三质检)正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点(如图(1))．现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图(2))．在图(2)中：(1)求证：AB∥平面DEF；(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论；(3)求二面角EDFC的余弦值．解：(1)证明：在△ABC中，因为E、F分别是AC、BC的中点，所以EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0,1)，B(1，0,0)，C(0，，0)，E，F，AB＝(1,0，－1)，BC＝(－1，，0)，DE＝，DF＝.设BP＝λBC，则AP＝AB＋BP＝(1－λ，λ，－1)，注意到AP⊥DE⇔AP·DE＝0⇔λ＝⇔BP＝BC，所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.(3)平面CDF的一个法向量DA＝(0,0,1)，设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(3，－，3)，cos〈DA，n〉＝＝，所以二面角EDFC的余弦值为.3．如图，已知在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱)ABCDA1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)求BC1与平面A1BD所成角的正弦值．解：(1)证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C(0，2,0)．DB＝(1,1,0)，BC＝(－1,1,0)，BB1＝(0,0,2)．BD·BC＝1－1＝0⇒BD⊥BC⇒BD⊥BC，BD·BB1＝0，∴BD⊥BB1∴BD⊥BB1.又∵B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)设n＝(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量．由n⊥DA1，n⊥DB，DA1＝(1,0,2)，DB＝(1,1,0)，得取z＝1，则n＝(－2,2,1)．又BC1＝(－1,1,2)．设BC1与平面A1BD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BC1〉|＝＝＝，即BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.4．在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若二面角APCD的大小为45°，求AP的值．解：(1)证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得CE＝＝1，DE＝＝3，所以BE＝DE，从而得∠DBC＝∠BCA＝45°.所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)法一：作OH⊥PC于点H，连接DH.由(1)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC.所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥DH.故∠DHO是二面角APCD的平面角，所以∠DHO＝45°.由∠DBC＝∠BCA＝45°，BC＝4，得OC＝2.同理可得OA＝，从而得AC＝3.设PA＝x，则PC＝.在Rt△DOH中，由DO＝，∠DHO＝45°，得OH＝.在Rt△PAC中，由＝，可得＝，解得x＝，即AP＝.法二：由(1)知AC⊥BD.以O为原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，D(－，0,0)．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－，t)(t＞0)．设向量m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，由CD＝(－，－2，0)，PD＝(－，，－t)，m·CD＝m·PD＝0，得令y＝1，得m＝.又平面PAC的法向量n＝(1,0,0)，于是|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得t＝，即AP＝.
