高考数学 专题七第1讲知能演练轻松闯关训练题VIP免费

高考数学专题七第1讲知能演练轻松闯关训练题1.(2012·高考广东卷)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.解析：如图，连接OA.由∠ABC＝30°得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan60°＝.答案：2．(2011·高考天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．解析：设BE＝a，则AF＝4a，FB＝2a.∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝，∴AF＝2，FB＝1，BE＝，∴AE＝.又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝×＝，∴CE＝.答案：3．(2012·高考陕西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD∽△FED，得DF·DB＝ED2＝5.答案：54.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析：如图，连接BD，DE，由题意知DE⊥AB，DE＝a，1即BC＝DE＝a，∴BD＝＝a，∴EF＝BD＝.答案：5.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：∵点A，B，C是圆O上的点，∴圆O是△ABC的外接圆，设圆O的半径为R，则由正弦定理得：2R＝＝＝4，解得R＝2，∴圆O的面积为πR2＝8π.答案：8π6．(2012·高考广东卷)如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA，若AD＝m，AC＝n，则AB＝__________.解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠ABP＝∠C，又因为∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB＝＝.答案：27.(2012·高考课标全国卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.8．(2011·高考江苏卷)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明：如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝.所以BD∥CE，于是＝＝＝.所以AB∶AC为定值．39.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.10.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连接DE.请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．解：DE是⊙O的切线．证明如下：如图，连接OD、CD，则OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC.又AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴三角形CDB为直角三角形．又E为BC的中点，∴DE＝BC＝CE，∴∠ECD＝∠EDC.又∠OCD＋∠ECD＝90°，∴∠ODC＋∠EDC＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE为⊙O的切线．4