课时跟踪检测(十七)圆锥曲线的方程与性质一、选择题1．(2019·咸阳二模)中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A．B．2C．D．解析：选D中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，∴a＝b，∴c＝＝a，∴e＝＝，故选D．2．(2019·成都模拟)已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±x解析：选D双曲线C：x2－＝1(b>0)的焦距为4，则2c＝4，即c＝2， 1＋b2＝c2＝4，∴b＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选D．3．(2019·山东模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则C的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选D双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则a＝b，由2c＝8，可得c＝4，由a2＋b2＝c2＝16，可得a2＝b2＝8，故选D．4．(2019·云南一模)已知M是抛物线C：y2＝2px上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x＝－1相切且经过点N(1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为()A．2B．4C．6D．8解析：选A设M(x0，y0)， 以M为圆心的圆与直线x＝－1相切且经过点N(1,0)，∴|x0＋1|＝，又y＝2px0，∴p＝2.即可得抛物线方程为y2＝4x.由⇒y2－4y－4b＝0.y1＋y2＝4，∴线段PQ的中点的纵坐标为＝2.故选A．5．(2019·江西模拟)如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝()A．B．C．D．解析：选C由题意以及选项的值可知：是常数，取M为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N在x的正半轴上，如图：则A1(0,2)，A2(0，－2)，M(－3,0)，由|OM|·|ON|＝|OA1|2，可得|ON|＝，则＝＝＝＝.故选C．6．(2019·郑州二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，则S△AOB＝()A．2B．C．D．3解析：选A如图所示，F(1,0)，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点E(x0，y0)．线段AB的垂直平分线的方程为y＝－(x－5)．联立化为ky2－4y－4k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－4，∴y0＝(y1＋y2)＝，x0＝＋1＝＋1，把E代入线段AB的垂直平分线的方程y＝－(x－5)．可得＝－，解得k2＝1.S△OAB＝×1×|y1－y2|＝＝＝2.故选A．二、填空题7．(2019·合肥二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为________．解析：如图， F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，设|PF1|＝m，则|PM|＝m，|MF1|＝m，又|PF1|＋|PM|＋|MF1|＝4a＝3m.∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，由余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，∴a2＝3c2，e＝＝.答案：8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．答案：(3，)9．(2019·凉山州模拟)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为2，则|AB|＋|DE|的最小值为________．解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，利用焦点弦弦长公式可得|AB|＋|DE|＝2p＝2＝2＝2＝2≥2＝8，当且仅当k1＝k2时取等号，∴则|AB|＋|DE|的最小值为8.答案：8三、解答题10．(2019·洛阳模拟)已知短轴的长为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)，直线n的横、纵截距分别为a，－1，且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足OA＋OB－2OC＝0，求直线l的方程．解：(1) 椭圆E的短轴的长为2，故b＝1.依题意设直线n的方程为－y＝1，由＝，解得a＝...
