第3讲等比数列及其前n项和1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6解析：选B．由题意知，q≠1，则，两式相减可得＝q3－q2，即＝1，所以q＝4.2．(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝()A．12B．18C．36D．24解析：选B．a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78⇒1＋q2＋q4＝13⇒q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18.故选B．3．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：选B．每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3，选择B．4．(2018·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为，则S5＝()A．36B．33C．32D．31解析：选D.设{an}的公比为q(q>0)，因为a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4，所以a3a4＝2a3，所以a4＝2.又a4＋2a6＝3，所以a6＝，所以q＝，a1＝16，所以S5＝＝31.故选D.5．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于()A．12B．13C．14D．15解析：选C．因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324，解之得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324.所以n＝14.6．在等比数列{an}中，若a1a5＝16，a4＝8，则a6＝________．解析：因为a1a5＝16，所以a＝16，所以a3＝±4.又a4＝8，所以q＝±2.所以a6＝a4q2＝8×4＝32.答案：327．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：设等比数列的公比为q，则有解得或又{an}为递增数列，所以所以Sn＝＝2n－1.答案：2n－18．(2018·郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________．解析：由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.答案：289．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10.解得d＝2.所以an＝2n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9.解得q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.10．(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．1．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n等于()A．3B．4C．5D．6解析：选A．因为{an}为等比数列，所以a3·an－2＝a1·an＝64.又a1＋an＝34，所以a1，an是方程x2－34x＋64＝0的两根，解得或又因为{an}是递增数列，所以由Sn＝＝＝42，解得q＝4.由an＝a1qn－1＝2×4n－1＝32，解得n＝3.故选A．2．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0.又a1＝2，则S101的值为()A．2B．200C．－2D．0解析：选A．设等比数列的公比为q.由an＋2an＋1＋an＋2＝0，得an(1＋2q＋q2)＝0.因为an≠0，所以1＋2q＋q2＝0，解得q＝－1，所以S101＝a1＝2.故选A．3．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N＋，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为＝an，令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，所以{an}是首项a1＝2，...
