命题角度4：应用正弦定理和余弦定理解实际问题1.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得同时测得海里。（1）求AD的长度;（2）求，之间的距离.【答案】（1）；（2），间的距离为海里.（2），，在中，由余弦定理得，即（海里）．答：，，间的距离为海里.点睛：解应用题，首先要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学数学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化为一个数学问题．2.某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动园区，其中；为游客通道（不考虑宽度），且，通道围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休息．（1）求的长度；（2）记游客通道与的长度和为，，用表示，并求的最大值．【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，求的长度．（2）求出，可得出关于的关系式，化简后求的最大值．3.某海轮以公里/小时的速度航行，在点测得海上面油井在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶40分钟到达点.（1）求间的距离；（2）在点测得油井的方位角是多少？【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）在中，根据正弦定理，求，再利用余弦定理算出的长，即可算出两地间的距离；（2）根据内错角相等可证明，从而可得出结论.试题解析：（1）如图，在中，,根据正弦定理得：,在中，，由已知，（2）在中，，所以，所以因为,所以,所以点测得油井在的正南40海里处.4.某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动园区，其中；为游客通道（不考虑宽度），且，通道围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休息．（1）求的长度；（2）记游客通道与的长度和为，，用表示，并求的最大值．【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，求的长度．（2）求出，可得出关于的关系式，化简后求的最大值．5.如图所示，是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.已知，.（1）设，，用表示，并求的最小值；（2）设（为锐角），当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.【答案】(1);(2)S=,8－.【解析】试题分析：(1)首先确定函数的解析式为结合均值不等式的结论可得的最小值是;(2)结合题意和三角函数的性质可得S=，利用三角函数的性质可知的最小值是8－.试题解析：（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即y2＝x2＋＋16，所以y＝y＝≥＝4，当且仅当x2＝，即x＝4时取等号．所以当x＝4时，y有最小值4．6.如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.（1）若，求的面积的最大值；（2）若的面积为，问为何值时取得最小值.【答案】（1）；（2）时，有最小值，即最小.【解析】试题分析：（1）建系设点，根据条件求出A的轨迹方程，则三角形的高为圆上动点到直线的距离，数形结合可求三角形面积的最大值．（2）设，表示出三角形面积，求出BC=，利用导数求其最值即可.（2）设，由得.令，令得，列表：略.在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值，即最小.试题点睛：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理以及导数的概念及其应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
