中难提分突破特训(四)1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S＝b2sinA.(1)求的值；(2)设内角A的平分线AD交BC于D，AD＝，a＝，求b.解(1)由S＝bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，即＝2.(2)由角平分线定理可知，BD＝，CD＝，在△ABC中，cosB＝，在△ABD中，cosB＝，即＝，解得b＝1.2．某市为了解本市高三学生某次历史考试的成绩分布，从中随机抽取了50名学生的历史原始成绩(成绩均在区间[40,100]上)，将所得成绩按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]分组整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)估算50名学生本次历史成绩的平均值和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若抽取的50名学生的成绩中，90分以上的只有1名男生，现从90分以上的学生中随机抽取2人，求抽取到2名女生的概率．解(1)50名学生成绩的平均值为x＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2.因为(0.008＋0.020)×10＝0.28<0.5，(0.008＋0.020＋0.032)×10＝0.6>0.5，所以设中位数为60＋x，则0.08＋0.2＋0.032x＝0.5，所以x＝6.875，故所求中位数为60＋6.875＝66.875.(2)抽取的50人的成绩中，分数在90分以上的人数为0.008×10×50＝4，易知90分以上的有1名男生，3名女生．设成绩在90分以上的男生为A，女生为B1，B2，B3，从中随机抽取2人的结果有{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共6种，其中抽取到2名女生的结果有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共3种，则抽取到2名女生的概率P＝＝.3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝30°，PC＝4.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，M为PC上一点，且满足＝2，求三棱锥M－PBD的体积．解(1)证明：设AC∩BD＝O，连接PO.∵BC＝CD，AC⊥BD，∴O为BD的中点．又∵PB＝PD，∴PO⊥BD.∵平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，∴BD⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BD.在△PCA中，由余弦定理得PA2＝PC2＋AC2－2PC·AC·cos30°＝16＋12－2×4×2×＝4，∴PA＝2.∵PA2＋AC2＝PC2，∴PA⊥AC.又∵BD∩AC＝O，∴PA⊥平面ABCD.(2)由＝2，可知点M到平面PBD的距离是点C到平面PBD的距离的，∴VM－PBD＝VC－PBD＝VP－BCD.又∵PA⊥平面ABCD，∴点P到平面BCD的距离为PA，由(1)得PA＝2.在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，及(1)得∠BAC＝60°，BC＝3，BO＝，CO＝，则S△BCD＝2×××＝，∴VM－PBD＝VP－BCD＝××S△BCD×PA＝×××2＝.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．解(1)∵ρ＝，∴ρ－ρcosθ＝2，即ρ＝ρcosθ＋2.∵x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＝(x＋2)2，化简得y2－4x－4＝0.∴曲线C2的直角坐标方程为y2－4x－4＝0.(2)∵∴2x＋y＋4＝0.∴曲线C1的普通方程为2x＋y＋4＝0，表示直线2x＋y＋4＝0.∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离的最小值．不妨设M2(r2－1,2r)，点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离为d，则d＝＝≥＝，当且仅当r＝－时取等号．∴|M1M2|的最小值为.5．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|.(1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集；(2)若g(x)＝4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝当x<－时，f(x)≤2无解；当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为；当x>时，f(x)≤2无解．综上所述，f(x)≤2的解集为.(2)当x∈时，f(x)＝(a－2x)＋(2x＋1)＝a＋1，所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x)．又g(x)＝4x2＋ax－3在上的最大值必为g，g之一，则解得即－≤a≤2.又a>－1，所以－1
