课下能力提升(二十五)空间两点间的距离公式一、选择题1．点B是点A(1,2,3)在坐标平面上yOz内的射影，则|OB|等于()A.B.C．2D.2．点P到原点O的距离是()A.B．1C.D.3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是()A．－3或4B．6或2C．3或－4D．6或－24．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则A、B、C三点()A．构成等腰三角形B．构成直角三角形C．构成等腰直角三角形D．不能构成三角形5．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0，5,1)等距离的点的个数为()A．1B．2C．3D．无数二、填空题6．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．7．点A(2，－1,2)到y轴的距离为________．8．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x，0,1)，则x＝________.三、解答题9．已知正三棱锥ABCD，高为1，底面正三角形边长为，建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标，并求侧棱AB的长度．10．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值．答案1．解析：选BB点坐标为(0,2,3)，∴|OB|＝.2．解析：选B|OP|＝＝＝1.3．解析：选D由空间两点间的距离公式得＝2，解得x＝6或x＝－2.4．解析：选D由已知得|AB|＝＝，|AC|＝＝＝2，|BC|＝＝，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，故不能构成三角形．5．解析：选D由两点间距离公式可得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．6．解析：设正方体棱长为a，则＝|AB|＝，所以a＝4，V＝43＝64.答案：647．解析：点A在y轴上的投影为(0，－1,0)，∴点A到y轴的距离为＝2.答案：28．解析：由距离公式|AB|＝＝；|AC|＝＝；|BC|＝＝；∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.答案：29．解：设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心．如图以OB所在直线为x轴，以OA所在直线为z轴，以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，设CD中点为E，由BC＝，O为△BCD中心可知，|OB|＝|BE|＝·|BC|＝1，|OE|＝|OB|＝，∴B(1,0,0)，E.又|CE|＝|ED|＝，∴C，D.又∵A在z轴上，且|AO|＝1，∴A(0,0,1)．由两点间的距离公式|AB|＝＝，∴各点坐标为A(0,0,1)，B(1,0,0)，C，D，侧棱AB长为.10．解：设正方体的棱长为a.(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是(，，)．因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．|PQ|＝＝.当z＝时，|PQ|的最小值为a，即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值a.(2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时，|PQ|最短．因为当点Q为棱CD的中点时，|AQ|＝|BQ|，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值a.
