高考数学复习点拨 数学思想方法在集合中的应用VIP免费

-2-52-t2t+1xＵＡＢＣＭＮ图３数学思想方法在集合中的应用集合中蕴含着丰富的数学思想方法，在解有关集合问题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁、巧妙的解决．下面将集合中常见的数学思想方法举例说明，以供参考．一、数形结合的思想方法数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，通过“数”与形的相互转化，达到化难为易，化繁为简的目的．集合中常用的手段是数轴法和韦恩图法．例１设集合Ｍ＝｛x∣25x｝，Ｎ＝｛x∣221,txttR｝，若ＭＮ＝Ｎ，求实数t的取值范围．解：由ＭＮ＝Ｎ得ＮＭ，故当Ｎ＝，212tt时，t1,3MNN成立；当N时，由图中数轴所示，可得22121522tttt，解之得123t．综上所述可知所求实数t的取值范围为｛t∣t２｝．评注：应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答过程简捷、巧妙、形象、直观．例２已知集合A、B、C为非空集合，M=A∩C，N=B∩C,P=M∪N，则（）Ａ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｃ，Ｂ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｐ，Ｃ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｃ∪Ｐ，Ｄ．一定有Ｃ∩Ｐ＝，解：如图３，Ｍ＝Ａ∩Ｃ，Ｎ＝Ｂ∩Ｃ，Ｐ＝Ｍ∪Ｎ，则必有Ｍ∪ＮＣ，即ＰＣ，∴Ｃ∩Ｐ＝Ｐ，选Ｂ．评注：对于涉及的集合个数、信息较多或对于未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常可考虑用韦恩图求解．二、分类讨论思想分类讨论的思想是一种重要的思想方法，也是一种基本的解题策略．就是化整为零，各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．用心爱心专心例３设集合Ａ＝｛y∣224,yxxxR｝，Ｂ＝｛y∣224,yaxxaxR｝，若AB，求实数a的取值范围．解：由2224(1)33yxxx，得Ａ＝｛y∣3y｝．在集合Ｂ中，224,yaxxaxR．（1）当a＝０时，y＝－２x，则Ｂ＝Ｒ，满足AB；（2）当a０时，211()4yaxaaa．①若a＜０，则Ｂ＝｛y∣14,0yaaa｝，这与AB矛盾．②若a＞０，则Ｂ＝｛y∣14,0yaaa｝，为使AB，只要143aa即可，解得01a．综上所述，实数a的取值范围是｛a∣01a｝．评注：分类讨论是解决集合问题的常用方法．但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏．三、方程思想方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想．就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系来反映，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决．例４已知全集Ｕ＝｛１，２，４，６，８｝，集合Ａ＝｛８，ｍ，ｎ，ｐ｝，Ｂ＝｛１，ｍｎ，ｍｐ，ｎｐ｝，且Ａ＝Ｂ，求UCＡ．解：∵Ａ＝Ｂ∴npmpmnmnpmpnpmnpnm1818．由②得mnp＝８.又ｍ、ｎ、ｐＵ，且ｍ、ｎ、ｐ互异，故ｍ、ｎ、ｐ中不能有６，只能分别为１、２、４（顺序不定），显然１、２、４也是①的解．∴Ａ＝｛１，２，４，８｝即UCＡ＝｛６｝．评注：本题利用两个集合（有限集）的性质解集合相等的问题，其实质就是用方程的思想和方法，即从A=B中找出两个独立的等量关系，要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况．用心爱心专心①②①①②②四、划归与转化思想在处理数学问题时，通过某种变换或划归把复杂问题简单化，把陌生问题转化为熟悉问题，从而使得原问题得到解决．例５已知U｛（x，y）∣,xRyR｝，Ａ＝｛（x，y）∣1xy｝，Ｂ＝｛（x，y）∣11yx｝，求()UCBA解：集合U｛（x，y）∣,xRyR｝是平面上所有点的集合；集合Ａ是直线1xy上的点的集合；集合Ｂ是直线1xy上的点的集合，但要除去点（１，０）；而UCB表示点（１，０）以及平面上除了直线1xy上的所有点以外的所有点，所以()UCBA对应的元素为（１，０），即()UCBA＝｛（１，０）｝．评注：数学语言通常包括文字语言、符号语言、和图形语言等，在处理集合问题时，我们经常需要将这几种语言进行转化，但在相互转化的过程中要注意转化的等价性．用心爱心专心