-2-52-t2t+1xUABCMN图3数学思想方法在集合中的应用集合中蕴含着丰富的数学思想方法,在解有关集合问题时若能充分运用这些数学思想方法,常可使许多问题获得简洁、巧妙的解决.下面将集合中常见的数学思想方法举例说明,以供参考.一、数形结合的思想方法数形结合思想,是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来,通过“数”与形的相互转化,达到化难为易,化繁为简的目的.集合中常用的手段是数轴法和韦恩图法.例1设集合M={x∣25x},N={x∣221,txttR},若MN=N,求实数t的取值范围.解:由MN=N得NM,故当N=,212tt时,t1,3MNN成立;当N时,由图中数轴所示,可得22121522tttt,解之得123t.综上所述可知所求实数t的取值范围为{t∣t2}.评注:应用数轴解答有关集合问题时,应先画出数轴,然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来,再借助数轴的直观性,从而使抽象的集合问题的解答过程简捷、巧妙、形象、直观.例2已知集合A、B、C为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则()A.一定有C∩P=C,B.一定有C∩P=P,C.一定有C∩P=C∪P,D.一定有C∩P=,解:如图3,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则必有M∪NC,即PC,∴C∩P=P,选B.评注:对于涉及的集合个数、信息较多或对于未给元素的抽象集合,研究其关系或运算时,常可考虑用韦恩图求解.二、分类讨论思想分类讨论的思想是一种重要的思想方法,也是一种基本的解题策略.就是化整为零,各个击破的解题手段,使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决.用心爱心专心例3设集合A={y∣224,yxxxR},B={y∣224,yaxxaxR},若AB,求实数a的取值范围.解:由2224(1)33yxxx,得A={y∣3y}.在集合B中,224,yaxxaxR.(1)当a=0时,y=-2x,则B=R,满足AB;(2)当a0时,211()4yaxaaa.①若a<0,则B={y∣14,0yaaa},这与AB矛盾.②若a>0,则B={y∣14,0yaaa},为使AB,只要143aa即可,解得01a.综上所述,实数a的取值范围是{a∣01a}.评注:分类讨论是解决集合问题的常用方法.但在分类时,必须要统一标准,简明扼要,做到不重不漏.三、方程思想方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想.就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的关系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决.例4已知全集U={1,2,4,6,8},集合A={8,m,n,p},B={1,mn,mp,np},且A=B,求UCA.解:∵A=B∴npmpmnmnpmpnpmnpnm1818.由②得mnp=8.又m、n、pU,且m、n、p互异,故m、n、p中不能有6,只能分别为1、2、4(顺序不定),显然1、2、4也是①的解.∴A={1,2,4,8}即UCA={6}.评注:本题利用两个集合(有限集)的性质解集合相等的问题,其实质就是用方程的思想和方法,即从A=B中找出两个独立的等量关系,要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况.用心爱心专心①②①①②②四、划归与转化思想在处理数学问题时,通过某种变换或划归把复杂问题简单化,把陌生问题转化为熟悉问题,从而使得原问题得到解决.例5已知U{(x,y)∣,xRyR},A={(x,y)∣1xy},B={(x,y)∣11yx},求()UCBA解:集合U{(x,y)∣,xRyR}是平面上所有点的集合;集合A是直线1xy上的点的集合;集合B是直线1xy上的点的集合,但要除去点(1,0);而UCB表示点(1,0)以及平面上除了直线1xy上的所有点以外的所有点,所以()UCBA对应的元素为(1,0),即()UCBA={(1,0)}.评注:数学语言通常包括文字语言、符号语言、和图形语言等,在处理集合问题时,我们经常需要将这几种语言进行转化,但在相互转化的过程中要注意转化的等价性.用心爱心专心