第7节立体几何中的向量法课时作业1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.解：如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.(1)易知平面PAD的一个法向量为OF＝，因为EF＝，且OF·EF＝·＝0，又因为EF平面PAD.所以EF∥平面PAD.(2)因为PA＝，CD＝(0，－a,0)，1所以PA·CD＝·(0，－a,0)＝0，所以PA⊥CD，所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.2．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．得E1，，0，F，0,0，G1,0，，EF＝－，－，0，EG＝0，－，.设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，设n2＝(x2，y2，z2)为平面B1CD1的法向量．则即令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.即n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1)．由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.3．在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.2(1)求EF的长；(2)证明：EF∥平面AA1D1D；(3)证明：EF⊥平面A1CD.解析：(1)解：如图建立空间直角坐标系A1(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)E(2,1,0)，F(1,1,1)EF＝(－1,0,1)，|EF|＝(2)∵AD1＝(－2,0,2)，∴AD1∥EF而EF面ADD1A13∴EF∥平面AA1D1D(3)∵EF·CD＝0，EF·A1D＝0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D又CD∩A1D＝D∴EF⊥平面A1CD.4．(2019德州模拟)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．解：(1)连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C，OC＝，SD＝，4则OC·SD＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量，且DS＝，CS＝，BC＝.设CE＝tCS，则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝，而BE·DS＝0⇒t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.而BE在平面PAC内，故BE∥平面PAC.5．(2019威海模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角为∠PAB＝45°.所以AB＝1.由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又因为PA⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，又因为CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.5(2)分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．所以P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，PE∥PD，所以y·(－1)－2(z－1)＝0①因为AD＝(0,2,0)是平面PAB的一个法向量．又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，所以CE⊥AD.所以(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，所以y＝1.将y＝1代入①，得z＝，所以E是PD的中点，所以存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点．6
