第7节立体几何中的向量法课时作业1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC
解：如图，取AD的中点O，连接OP，OF
因为PA＝PD，所以PO⊥AD
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB
又ABCD是正方形，所以OF⊥AD
因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝
以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C
因为E为PC的中点，所以E
(1)易知平面PAD的一个法向量为OF＝，因为EF＝，且OF·EF＝·＝0，又因为EF平面PAD
所以EF∥平面PAD
(2)因为PA＝，CD＝(0，－a,0)，1所以PA·CD＝·(0，－a,0)＝0，所以PA⊥CD，所以PA⊥CD
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC
又PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC
2．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1
证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．得E1，，0，F，0,0，G1,0，，EF＝－，－，0，EG＝0，－，
设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，设n2＝(x2，y2，z2)为平面B1CD1的法向量．则即令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1
即n1＝(1，－1，－1)，
