1.5.2平行关系的性质[A.基础达标]1．如图，在三棱锥SABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能解析：选B.因为EF∥平面ABC，BC平面ABC，EF平面SBC，平面ABC∩平面SBC＝BC，所以EF∥BC.2．若α∥β，aα，bβ，下列几种说法中正确的是()①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β.A．①②B．②④C．②③D．①③④解析：选B.序号正误原因分析①×a与b可能异面②√过a的平面与β的交线都与a平行③×在β内与a垂直的直线有无数多条④√因为aα，α∥β，所以a与β无公共点，所以a∥β3.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H两点，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A.因为E，F分别是AA1和BB1的中点，所以EF∥AB.又因为AB平面EFGH，EF平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.又因为AB平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，所以AB∥GH.4．已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()A．D1B1∥平面ABCDB．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1解析：选D.A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B，C可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D1B1∥l，l与B1C1所成角是45°.5．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β()A．只能作一个B．至多可以作一个C．不存在D．至少可以作一个解析：选B.由于a在平面α外，所以a∥α或a∩α＝P.当a∥α时，过a可作唯一的平面β，使β∥α；当a∩α＝P时，过a不能作平面β，使β∥α，故至多可以作一个．6．若直线l不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l与平面α的关系为________．解析：若直线l与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l相交，故要使l不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l∥α.答案：l∥α7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面是四边形，则它的周长为________．解析：如图可知截面EFGH是平行四边形，且EF＝AC＝4，FG＝BD＝6，所以四边形周长是2×(4＋6)＝20.答案：208．如图，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝________．解析：连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.答案：9．如图，在△ABC所在平面外有一点P，点D，E分别为PB，AB上的点，过D，E作平面平行于BC，试画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法依据．解：过D，E作平面，设所画平面为α，因为BC∥α，且BC平面PBC，BC平面ABC，则平面α与平面PBC和平面ABC的交线都与BC平行，据此作平面α如下：连接DE，过D作DG∥BC，交PC于G，过E作EF∥BC交AC于F，连接GF，平面DEFG即为平面α.10.如图，α∥β∥γ，两直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F，AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3.求AB、BC、EF的长．解：连接AF交β于点G，连接BG，GE，AD，CF.因为α∥β∥γ，所以BG∥CF，GE∥AD，所以＝＝＝，所以＝，即＝，因为AC＝15cm，所以AB＝cm.因为DE＝5cm，所以EF＝3DE＝15cm.所以BC＝3AB＝cm.[B.能力提升]1．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C.①中，a∥γ，aβ，bβ，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．③中，b∥β，bγ，aγ，又α∩β＝a，所以aβ，所以β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．另外，本题可以借助长方体来进行判断．2．正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P、B、Q三点的截面是()A．邻边不相等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．矩形D．正方形解析：选B.如图所示，设经过P、B、Q三点的截面为平面γ，由平面ABB1A1...
