综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1sinx.下列是真命题的是()A.(p)∧qB.(p)∨(q)C.p∧(q)D.p∨(q)6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出y的值为()A.2B.7C.8D.1287.已知双曲线=1(a>0,b>0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.28.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.10.设变量x,y满足约束条件的最小值是.11.(2017全国Ⅰ,文15)已知α∈,tanα=2,则cos=.12.设函数f(x)=|x+2|+|x-2|,x∈R,则不等式f(x)≤6的解集M=.13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为.14.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cosA=-.(1)求sinC和b的值;(2)求cos的值.16.(13分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.17.(13分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,矩形DCBE所在的平面垂直于☉O所在的平面,AB=4,BE=1.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离.18.(13分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19.(14分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.20.(14分)已知函数f(x)=2x-+blnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-8=0.(1)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.##综合能力训练1.C解析A={x∈R|x2<4}={x|-24或x≤-1},则A∩(∁RB)={x|-23x,∴命题p是真命题;tanx=,x∈; 00,∴>1,>sinx,即tanx>sinx,∴命题q是真命题,∴p是假命题,(p)∧q是假命题,q是假命题,(p)∨(q)是假命题,p∧(q)是假命题,p∨(q)为真命题.6.C解析当x=1时,不满足条件“x≥2”,则y=9-1=8.即输出y=8,故选C.7.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即.由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1.∴,e2=1+.∴e=.故选A.8.C解析 f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-.若a∈[0,+∞),则ea-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-.9.1解析 f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知切点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.10.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA==1.11.解析由tanα=2,得sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cosα=,sinα=....
