1.2排列与组合教材解读一、排列1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．此定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“有一定顺序”．当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素完全不同或元素部分相同或元素相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列．另外，定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了．2．排列数即为不同排列的个数，就是所有排列的总数，用符号mnA表示．公式的两种表示形式为：①(1)(2)(1)mnAnnnnm；②!()!mnnAnm．说明：（1）mnN，，且m≤n；（2）公式①的右边第一个因数为n，后面每个因数都比前面一个因数少1，最后一个因数是1nm，共m个因数相乘．（3）对于!()!mnnAnm主要有两个作用：①当m，n较大时，可使用计算器快捷地算出结果；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式．3．解有限制条件的排列问题时，关键是解决好特殊元素（或位置）的排列，只要特殊元素（或位置）排列好了，其它元素（或位置）的排列可采用排列数公式直接求解．通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其它元素；（2）位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其它位置；（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数．二、组合1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合与排列的区别在于：虽然都是从n个不同的元素中取出m个不同元素，但是排列是要考虑“一定顺序排成一列”，而组合是“合成一组”即元素之间无前后顺序可言．因此两个组合只要它们的元素相同就是同一个组合，而不必考虑元素之间的顺序．2．组合数即是符合条件的所有组合的个数，用符号mnC表示．组合数公式有两种表示形式：①(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm；②!!()!mnnCmnm．说明：（1）组合数公式的推导是依据分步计数原理，把求从n个不同元素中取出m个元素的排列数的过程分为两步完成：求组合数，求全排列数．从而利用这种对应关系和已知排用心爱心专心列数公式得到组合数公式．这种分步解决问题的思维方法对解决排列、组合应用题意义重大．（2）对于组合数的第一个公式(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm，它体现了组合数与相应排列数的关系，当n确定而m变化时，组合数与m是一种函数关系，一般在计算具体的组合数时，常用此公式；第二个公式!!()!mnnCmnm的主要作用有：①当m，n较大时，利用此公式计算组合数较为简便；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此式．（3）组合数的性质：①mnmnnCC；②11mmmnnnCCC；③11kknnkCnC；④01nC．3．解“含有”或“不含有”某些元素的组合问题时，要先将“含有”的这些元素取出，再由另外元素补足；先将“不含有”的这些元素剔除，再从留下的元素中去选取．解“至少”或“至多”的组合题时，要谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常直接法中分类庞杂时，可考虑逆向思维，用间接法处理．三、特别提示1．解排列、组合应用题，首先以“有序是排列、无序是组合”分清排列、组合两类不同的应用题．具体做法是：先写出一个具体的选择结果，再交换这个结果中任意两个元素的位置，视其结果是否发生变化：若结果变化了（不满足交换律），说明与顺序有关，是排列问题，否则是组合题．用交换律来判别属于排列问题还是组合问题是一种常用方法．2．解组合应用题时，要注意正确理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”等词语的确切含义．在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”．用心爱心专心
