第二讲数列求和及数列的综合应用1、[2014·合肥检测]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝()A．7B．12C．14D．21答案：C[解析]由an＋2＝2an＋1－an得，数列{an}为等差数列．由a5＝4－a3，得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14.2．(2013·辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.【解析】因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.【答案】633．(2013·重庆高考)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.【解析】借助等比中项及等差数列的通项公式求出等差数列的公差后，再利用等差数列的求和公式直接求S8. a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0， d≠0，∴d＝2.∴S8＝8×1＋×2＝64.【答案】644、若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2答案：Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝＋＝2n＋1＋n2－2.【答案】C5．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是________．【解析】f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，＝＝－，用裂项法求和得Sn＝.【答案】6．（2013新课标全国Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解析：本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高．由已知解得a1＝－3，d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.∴nSn的最小值为－49.答案：－497、已知数列{an}满足a1＝1，且an＝3an－1＋2n－1(n≥2)．(1)证明{an＋2n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.【思路点拨】(1)证明：＝q(q为非零常数)便可．(2)求an的通项公式，分组求和求Sn.【尝试解答】(1)证明：当n≥2时，由an＝3an－1＋2n－1，得＝＝3.又 a1＝1，∴a1＋21＝3∴数列{an＋2n}是首项为3，公比为3的等比数列．(2)由(1)知an＋2n＝3n，∴an＝3n－2n.∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－21)＋(32－22)＋(33－23)＋…＋(3n－2n)＝(31＋32＋33＋…＋3n)－(21＋22＋23＋…＋2n)＝－＝－2n＋1＋.8、已知等差数列{an}中，a2＝8，S6＝66.(1)求数列{an}的通项公式an；1(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则由题意得解之得∴an＝6＋(n－1)·2＝2n＋4.(2)bn＝＝＝－，∴Tn＝＋＋…＋＝－＝，9．[2014·安徽卷]数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，从而可得bn＝n·3n.Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，①3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，所以Sn＝.10、[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.11、（2013北京）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.解：本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推...
