第7讲双曲线INCLUDEPICTURE"../课时作业.tif"\*MERGEFORMAT基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·西安调研)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.答案B2．(2014·大纲全国卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A．2B．2C．4D．4解析由已知，得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.答案C3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4B．8C．24D．48解析由可解得又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.答案C4．(2014·重庆卷)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一1点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C．4D.解析根据双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，所以4a2＝b2－3ab，即(a＋b)(4a－b)＝0.又a＋b≠0，所以b＝4a，所以e＝＝＝＝.答案D5．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为()A．[3－2，＋∞)B．[3＋2，＋∞)C．[－，＋∞)D．[，＋∞)解析由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为－y2＝1，设P点坐标为(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋2，y)， y2＝－1，∴OP·FP＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.又 x≥(P为右支上任意一点)，∴OP·FP≥3＋2.故选B.答案B二、填空题6．(2014·四川卷)双曲线－y2＝1的离心率等于________．解析由双曲线方程－y2＝1，知a2＝4，b2＝1，c2＝a2＋b2＝5，∴e＝＝.答案7．(2014·北京卷)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为________．解析由双曲线的焦点坐标知c＝，且焦点在x轴上，由顶点坐标知a＝1，由c2＝a2＋b2，得b2＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.答案x2－y2＝18．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________．解析因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝24，解得n＝5或－3(舍去)．答案53三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1.10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP＝PB，求△AOB的面积．解(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，由AP＝PB得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ， tan＝2，则tanθ＝，从而sin2θ＝.又|OA|＝m，|OB|＝n，∴S△AOB＝|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2014·江西卷)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可设点A的坐标为(a，b)．设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2...
