课时跟踪检测(十二)立体几何中的向量方法A卷1．(2019·揭阳一模)如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC＝BC＝CD＝2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45°.(1)求证：平面PBC⊥平面DEBC；(2)求二面角D－PE－B的余弦值．解：(1)证明： AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥EB. AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC＝C，∴EB⊥平面PBC.又 EB⊂平面DEBC，∴平面PBC⊥平面DEBC.(2)由(1)知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB＝45°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PB＝EB. AB∥DE，结合CD∥EB得BE＝CD＝2，∴PB＝2，故△PBC为等边三角形．取BC的中点O，连接PO， PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，－1,0)，P(0,0，)，从而DE＝(0,2,0)，BE＝(2,0,0)，PE＝(2,1，－)，设平面PDE的一个法向量为m＝(x，y，z)，平面PEB的一个法向量为n＝(a，b，c)，则由得令z＝－2，得m＝(－，0，－2)，由得令c＝1，得n＝(0，，1)，设二面角D－PE－B的大小为θ，则cosθ＝＝＝－，即二面角D－PE－B的余弦值为－.2．(2019·汉阳区校级模拟)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°.(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO， 四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点， FA＝FC，∴AC⊥FO，又FO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDEF.(2)连接DF， 四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形． O为BD中点，∴FO⊥BD，又由(1)得AC⊥FO，∴FO⊥平面ABCD. OA，OB，OF两两垂直，∴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示，设AB＝2， 四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，∴BD＝2，AC＝2. △DBF为等边三角形，∴OF＝.∴A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)，∴AD＝(－，－1,0)，AF＝(－，0，)，AB＝(－，1,0)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，，1)．设直线AD与平面ABF所成角为θ，则直线AD与平面ABF所成角的正弦值为sinθ＝|cos〈AD，n〉|＝＝.3．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．图1图2解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，平行于BA方向为y轴正方向，HE方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz，则A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，B(－1，0,0)，所以CG＝(1,0，)，AC＝(2，－1,0)，BA＝(0,1,0)．设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(3,6，－)．又平面BCGE的法向量可取m＝BA＝(0,1,0)，所以cos〈n，m〉＝＝.因此二面角B－CG－A的大小为30°.B卷1．(2019·郑州二模)如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，平面ABEF⊥平面ABC,2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE.(1)求证：BC⊥BF；(2)求二面角F－CE－B的正弦值．解：(1)证明： 在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB. 平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ABEF. BF⊂平面ABEF，∴BC⊥BF.(2)由(1)知BC⊥平面ABEF，故以B为原点，BA方向为x轴正方向，BC方向为y轴正方向，过B点作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，设2AF＝AB＝BE＝2， ∠FAB＝60°，AF∥BE，∴B(0,0,0)，C(0,2,0)，F，E(－1,0，)，EC＝(1,2，－)，EF＝，BC＝(0,2,0)，设平面CEF的一个法...
