考点38直接证明与间接证明1．（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检四）利用反证法证明：若，则，假设为()A．都不为0B．不都为0C．都不为0，且D．至少有一个为0【答案】B【解析】的否定为，即，不都为0，选B.2．（四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（）A．存在至少一组正整数组使方程有解B．关于的方程有正有理数解C．关于的方程没有正有理数解D．当整数时，关于的方程没有正实数解【答案】C【解析】由于B,C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于的方程有正有理数解，故可写成整数比值的形式，不妨设，其中为互质的正整数，为互质的正整数.代入方程得，两边乘以得，由于都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于的方程没有正有理数解.故选C.3．（湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学理）已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①1数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是____________．【答案】①③④【解析】因为，所以①，下证等比数列的公比.若，则，则当时，，此时，与①矛盾；若，则，则当时，此时，与①矛盾.故，故.下证，若，则，于是，由得，所以中至少有两项相同，矛盾.所以，所以，所以正确的序号是①③④.4．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．（I）已知集合，，写出，的值；（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；（III）已知均有性质，且，求的最小值.【答案】（I）；（II）见解析；（III）.【解析】2（I）由题意可得：，,故（II）要证具有性质，只需证明，若，则.假设上式结论不成立，即若，则.即，即，，.因为上式的右边为的倍数，而上式的左边为的倍数，所以上式不成立.故假设不成立，原命题成立.（III）由题意，集合具有性质，等价于任意两个元素之和均不相同.如，对于任意的，有，等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.令，所以具有性质.因为集合均有性质，且，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.5．（上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测二模）已知函数的定义域，值域为.（1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由）①，②.（2）已知函数的值域，试求出满足条件的函数3一个定义域；（3）若，且对任意的，有，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）满足.不满足.（2）因为，所以即，所以所以满足条件的（答案不唯一）.（3）假设存在使得又有，所以，结合两式：，所以，故.由于知：.4又.类似地，由于，得.所以，与矛盾，所以原命题成立.6．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解析】解：（Ⅰ）（Ⅱ）证明：假设存在，使得，显然，取，则，由题意，而为集合中元素的最大值，所以，，矛盾，假设不成立，所以，不存在，使得．（Ⅲ）设为使得的最大正整数，则．5若，则存在正整数，使得，所以．同（Ⅱ）不可能属于集合．于是，由题意知，所以，，集合中大于2000的元素至多有19个，所以．下面证明不可能成立．假设，则存在正整数，使得，显然，所以存在正整数使得．而与为使得的最大正整数矛盾，所以不可能成立．即成立．当时，对于任意的满足显然有成立．若，则，即，所以，，其中均为符合题意的集合．而可能取的值为981，982，…，1000，故符合条件的集合个数为．因此，满足条件的集合的个数为．7．（江苏省2019届高三第二学期联合调研测试）已知数列的前项和为，.（1）...
