课时分层作业(二十九)利用函数性质判定方程解的存在性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有()A．0个B．1个C．2个D．不能确定C[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．]2．函数f(x)＝4x－2x－2的零点是()A．(1，0)B．1C．D．－1B[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)C[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0.由零点存在定理可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．]4．函数f(x)＝lnx－的零点的个数是()A．0B．1C．2D．3C[如图，画出y＝lnx与y＝的图象，由图知y＝lnx与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝lnx－的零点有2个．]5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．必有唯一的实数根D[由题意知函数f(x)为连续函数． f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又 函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.]二、填空题6．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．－3[设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．3[由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．]8．若函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________．(1，＋∞)[f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]三、解答题9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4.[解](1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3.所以函数f(x)＝的零点是－3.(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f(x)＝x2＋2x＋4无零点．10．设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－.(1)求证：函数g(x)有两个零点；(2)讨论函数g(x)在区间(0，2)内的零点个数．[解](1)证明： g(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝b2－4a＝(2a＋b)2＋2a2. a>0，∴Δ>0恒成立，故函数f(x)有两个零点．(2)根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，又由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c.(ⅰ)当c>0时，有g(0)>0，又 a>0，∴g(1)＝－<0，故函数g(x)在区间(0，1)内有一个零点，故在区间(0，2)内至少有一个零点．(ⅱ)当c≤0时，g(1)<0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1，2)内有一零点，综合(ⅰ)(ⅱ)，可知函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．11．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4B[函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝＝的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.]12.方程lgx＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于()A．2B．3C．4D．5B[令f(x)＝lgx＋2x－8，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续．因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg2－4<0，f(3)＝lg3－2<0，f(4)＝lg4>0，所以f(3)f(4)<0，函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3.]13．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．(－∞，2)[由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2.]14．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝...
