高中数学一轮复习资料第六章三角恒等变形第一节同角三角函数的基本关系A组1．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等于________．解析：∵α、β均为锐角，∴－<α－β<，∴cos(α－β)＝＝.∵sinα＝，∴cosα＝＝.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝.∵0<β<，∴β＝.答案：2．已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为________．解析：∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<π.∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－)×＋(－)×＝－.答案：－3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则＝＝＝＝－.答案：－4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是___．解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，得sin(α＋)＝，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－.答案：－5．(原创题)定义运算ab＝a2－ab－b2，则sincos＝________.解析：sincos＝sin2－sincos－cos2＝－(cos2－sin2)－×2sincos＝－cos－sin＝－.答案：－6．已知α∈(，π)，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈(，π)，求cosβ的值．解：(1)因为sin＋cos＝，两边同时平方得sinα＝.又<α<π.所以cosα＝－.(2)因为<α<π，<β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<.又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－×＋×(－)＝－.B组1.·的值为________．解析：·＝·＝·＝·＝1.2．已知cos(＋x)＝，则的值为________．解析：∵cos(＋x)＝，∴cosx－sinx＝，∴1－sin2x＝，sin2x＝，∴＝＝sin2x＝.3．已知cos(α＋)＝sin(α－)，则tanα＝________.解析：cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝cosα－sinα，sin(α－)＝sinαcos－cosαsin＝sinα－cosα，由已知得：(＋)sinα＝(＋)cosα，tanα＝1.4．设α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(＋β)＝，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈(，)，α－∈(0，)，又cos(α－)＝，∴sin(α－)＝.∵β∈(0，)，∴＋β∈(，π)．∵sin(＋β)＝，∴cos(＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－)＋(＋β)]＝－cos(α－)·cos(＋β)＋sin(α－)·sin(＋β)＝－×(－)＋×＝，即sin(α＋β)＝.5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋×＝.6．已知角α在第一象限，且cosα＝，则＝________.解析：∵α在第一象限，且cosα＝，∴sinα＝，则＝＝＝2(sinα＋cosα)＝2(＋)＝.7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，则tan(α＋)的值为________．解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，又α∈(，π)，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝.8.的值为______．解析：由tan(70°－10°)＝＝，故tan70°－tan10°＝(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：＝＝＝.9．已知角α的终边经过点A(－1，)，则的值等于________．解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－，∴＝＝－.10．求值：·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°.用心爱心专心1解：原式＝＋－2cos40°＝－2cos40°＝－2cos40°＝－2cos40°＝＝2.11．已知向量m＝(2cos，1)，n＝(sin，1)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1.(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝，f(B)＝，求f(C)的值．解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cos，1)·(sin，1)－1＝2cossin＋1－1＝sinx.∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[－1,1]．(2)∵f(A)＝，f(B)＝，∴sinA＝，sinB＝.∵A，B都为锐角，∴cosA＝＝，cosB＝＝.∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.∴f(C)的值为.12．(2010年南京调研)已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋)的值．解：(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.法二：sin2β＝cos(－2β)＝2cos2(β－)－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)＝－×＋×＝.用心爱心专心2
