第二课考点突破·素养提升素养一数学运算角度1解方程与方程组【典例1】关于x的方程x2-4x+k=0与2x2-3x+k=0有一个相同的根，求k的值.【解析】设x2-4x+k=0的两根为α，β，2x2-3x+k=0的两根为α，γ，则①-③得：β-γ=⑤，由②④得：αβ=2αγ⑥当α=0时，由②得：k=0；当α≠0时，由⑥得：β=2γ，代入⑤得：β=5；把β=5代入①得，α=-1，代入②得，k=-5，所以k=0或k=-5.【类题·通】求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组.【加练·固】若方程x2+3x+k=0的两根之差为5，求k值.【解析】设方程的两根为α，α+5，由根与系数的关系得：α+α+5=-3，所以α=-4，所以α+5=1，所以k=α(α+5)=-4×1=-4.角度2解不等式与不等式组【典例2】在R上定义运算：=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A.-B.-C.D.【解析】选D.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1，即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立，x2-x-1=-≥-，所以-≥a2-a-2，-≤a≤.【类题·通】解决“恒成立”的基本方法是转化法，其基本步骤有两步，即分离与求最值，本题进行了巧妙的转化后，变成解一元二次不等式问题.素养二逻辑推理角度1不等式的性质及其应用【典例3】(1)已知a，b满足等式x=a2+b2+20，y=4(2b-a)，则x，y满足的大小关系是()A.x≤yB.x≥yC.x
y(2)若<<0，则不等式：①a+b|b|；③a2中，正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个(3)若a，b>0，且P=，Q=，则P，Q的大小关系是()A.P>QB.P0，b|a|，因此①正确，②错误，③错误.又+-2=>0，因此④正确.(3)选D.P2-Q2=-(a+b)=-≤0，所以P2≤Q2，即P≤Q.【类题·通】不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论基础，应注意准确应用，保证每一步的推理都有根据.要熟练掌握不等式性质应用的条件，以防推理出错.【加练·固】如果a，b，c满足cacB.c(b-a)>0C.cb20，c<0.对于A：⇒ab>ac，A正确.对于B：⇒c(b-a)>0，B正确；对于C：⇒cb2≤ab2，即C不一定成立.对于D：ac<0，a-c>0ac(a-c)<0⇒，D正确.角度2均值不等式及其应用【典例4】当x≥0时，求x+的最小值.【解析】因为x+=(x+1)+-1，又x≥0，所以x+1>0，>0，所以x+1+≥2.当且仅当x+1=，即x=-1时，x+取最小值2-1.【类题·通】利用均值不等式求最值的策略【加练·固】已知x>0，y>0，xy=10，求+的最小值.【解析】因为x>0，y>0，xy=10，所以+≥2=2，当且仅当=，即x=2，y=5时，等号成立，故+的最小值为2.素养三直观想象角度解绝对值不等式【典例5】已知不等式|x+2|-|x+3|>m.(1)若不等式有解.(2)若不等式解集为R.(3)若不等式解集为，分别求出m的范围.【解析】方法一：因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2)，B(-3)距离的差.即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|.由图象知(|PA|-|PB|)max=1，(|PA|-|PB|)min=-1.即-1≤|x+2|-|x+3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(-∞，1).(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x+2|-|x+3|的最小值还小，即m<-1，m的范围为(-∞，-1).(3)若不等式的解集为，∅m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，+∞).方法二：由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1，|x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1，可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(-∞，1).(2)若不等式解集为R，则m∈(-∞，-1).(3)若不等式解集为，则∅m∈[1，+∞).【类题·通】解绝对值不等式的常用方法(1)平方法.(2)分情况讨论去绝对值法.(3)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解法.(4)构造函数，利用图象求解法.素养四数学建模角度基本不等式的实际应用【典例6】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？【解析】设每间虎笼长xm，宽ym，则由条...
