高中数学 第八章 立体几何初步 8.6.3 平面与平面垂直课时作业 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP专享VIP免费

8.6.3平面与平面垂直一、选择题1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．答案：D2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是()A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α⊥βC．若m⊥n，则α∥βD．若m∥n，则α∥β解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.答案：B3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.答案：A4．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．故选A.答案：A二、填空题5．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为________．解析：如图，设S在底面内的射影为O，取AB的中点M，连接OM，SM，则∠SMO为所求二面角的平面角，在Rt△SOM中，OM＝AD＝1，SM＝＝，所以cos∠SMO＝＝，所以∠SMO＝45°.答案：45°6．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β.其中正确的命题是________(填序号)．解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．答案：③7．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂三、解答题8．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A.PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.9.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD.所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，而PG∩BG＝G，PG⊂平面PBG，BG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.[尖子生题库]10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，AB＝1，BC＝2，AC＝，求二面角P－CD－B的大小．解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝，AC＝，∴∠PCA＝45°.故二面角P－CD－B的大小为45°.