第2节函数的单调性与最值1．(2019·阜阳市模拟)给定函数：①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：B[①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜＜1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.]2．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是()A.B.C.D.解析：D[当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由，得0
0时，g(x)在[，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．]6．(2019·日照一模)已知奇函数f(x)为R上的减函数，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是________．解析：∵奇函数f(x)为R上的减函数，∴不等式f(3a2)＋f(2a－1)≥0，等价为f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，即3a2≤1－2a，即3a2＋2a－1≤0，得(a＋1)(3a－1)≤0，得－1≤a≤，即实数a的取值范围是.答案：7．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．解析：f(x)＝＝a－，定义域为(－∞，－2a)∪(－2a，＋∞)，∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴即，解得a≥1.答案：[1，＋∞)8．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．解析：函数y＝x3在(－∞，0]上是增函数，函数y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，且x>0时，ln(x＋1)>0，所以f(x)在R上是增函数，由f(2－x2)>f(x)，得2－x2>x，解得－20且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任取x10，x1－x2<0，∴f(x1)0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．10．(2019·西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.解：(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}．
