1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积[A.基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为()A．3πB.πC.πD.π解析：选B.设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝·2R＝R，所以·2R·R＝，解得R＝1.所以V＝×π×12×＝π.2．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为()A．8cmB．80cmC．40cmD.cm解析：选B.设正四棱柱的高为hcm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．3.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为()A.B.C．1D.解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V＝××1＝.4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A.B.C.D.或解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝，底面面积S＝a2＝，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝，底面面积S′＝a′2＝，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝.所以正三棱柱的体积为或.5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－B．8－C．8－2πD.解析：选A.由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V＝23－×π×12×2＝8－.6．如图，在棱长为1的正方体中，Q为棱C1C的中点，则三棱锥C1BD1Q的体积为________．解析：三棱锥C1BD1Q也可以写成三棱锥BC1D1Q.底面积S＝，高BC＝1，则V＝V棱锥＝××1＝.答案：7．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h＝＝1，故体积V＝π(22＋2×1＋12)×1＝.答案：8．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4169．四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，将四边形绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C(2，1)，D(0，3)，所以圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.所以V圆锥＝πr2h＝π×22×2＝π.因为B(1，0)，C(2，1)，所以圆台的两个底面半径R＝2，R′＝1，高h′＝1.所以V圆台＝πh′(R2＋R′2＋RR′)＝π×1×(22＋12＋2×1)＝π，所以V＝V圆锥＋V圆台＝5π.10．一几何体的三视图如图：(1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5cm，作BD⊥AC于D，则BD＝cm，得S底＝5××＝6(cm2)，高h＝6cm，得V＝×6×6＝12(cm3)．[B.能力提升]1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A.cm3B．144cm3C.cm3D.cm3解析：选B.该几何体是一个组合体，上面是一个正四棱柱，其底面是边长为4的正方形，且高为2，下面是一个正四棱台，其高为3，下底面是边长为8的正方形，所以V＝4×4×2＋×3×(64＋16＋)＝144(cm3)．2．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积是()A．112cm3B.cm3C．99cm3D．224cm3解析：选B.由三视图可知该几何体上面是四棱锥，下面是个正方体，则体积V＝Sh＋a3＝×4×4×2＋43＝＋64＝(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：由三视图可知，这是由下面是一个长方体，上面是一个平躺着的四棱柱构成的组合体，长方体的体积为：3×4×2＝24(m3)，四棱柱的体积为×1×4＝6(m3)，所以该几何体的体积为24＋6＝30(m3)．答案：304．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆...
