2.4～2.5教材解读（一）1．等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．（1）与等差数列类似，等比数列概念的实质也是由递推关系所反映，即数列为等比数列1nnaqa（q为不等于0的常数，nN）．（2）由定义知，等比数列的任何一项不能为0，公比也不能为0，这一点与等差数列不同．（3）一个数列为等比数列，则项数至少为3，且每项均不为0．例如，2，4，8是等比数列，而2，4则不是等比数列．（4）等比数列是从第2项起，每一项与它的前一项的比值，而不是它的后一项与它的前一项的比值．例如数列112142，，，，，…就不是等比数列．（5）常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．例如各项都为0的常数列就不是等比数列，非0常数列既是等差数列又是等比数列．2．等比数列的通项公式等比数列的通项公式11nnmnmaaqaq．（1）从函数角度来说，11nnaaq可以整理为1nnaaqq．当0q且1q时，xyq是一个指数函数．因此1nayqq·是一个不为0的常数与指数函数的一系列孤立函数值的乘积．（2）等比数列的单调性等差数列的单调性仅与公差d有关，而等比数列的单调性不仅与公比q有关，而且还与首项1a有关，即：当101aq，或1001aq，时，数列na为递增数列；当1001aq，或101aq，时，数列na为递减数列；当1q时，数列na为常数列；当0q时，数列na为摆动数列．3．等比中项若AGB，，成等比数列，则G叫做A与B的等比中项．（1）任意两个同号且不为0的数的等比中项都有两个，它们互为相反数，这与等差中项不同．任何两个数都存在等差中项且仅有一个．用心爱心专心（2）若abc，，成等比数列，则2bac；反过来，若2bac，则abc，，不一定成等比数列．例如，当0abc时，满足2bac，但0，0，0不成等比数列．这一点与“2bac”等价于“abc，，成等差数列”也是不同的．4．巧设未知元解决等比数列问题设未知数时，应充分利用条件，减少未知数的个数，或利用对称性，将未知数设成对称的形式．同等差数列类似，对连续数个项成等比数列且积为定值时，可设为aaaqq…，，，，…，公比为q；对连续偶数个项成等比数列且积为定值时，一般可设为33aaaqaqqq…，，，，，…，但由于此时公比为2q，所以不要漏掉公比为负数的情形，要考虑周全．例有四个数成等比数列，它们的积为16，中间两项之和为5，求这四个数．解：设这四个数分别为abcd，，，，则165bcdabcabcdbc，①，②．③由①，得adbc，代入②，得4bc．当4bc时，由③与4bc联立，解得14bc，，或41.bc，114164abcd，，，或116414abcd，，，．当4bc时，由③与4bc联立，解得54125412bc，，或5412541.2bc，294118554154129411858228abcd，，，或29411858a，5415412941185228bcd，，．综上，这四个数分别为114164，，，或116414，，，用心爱心专心或294118554154129411858228，，，或29411858，5412，5412，29411858．5．通项公式中，第n项na是首项1a与公比q的(1)n次方的积，而不是n次方的积．公式中含有四个量1naaqn，，，知道其中任意三个，可求第四个量．用心爱心专心
