专题限时训练(十五)直线与圆(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2B．8C．4D．10答案：C解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.故选C.2．(2015·重庆卷)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．4C．6D．2答案：C解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.3．(2015·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0答案：A解析： 所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0. 所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴＝，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.4．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－B．1C．2D.答案：C解析：因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.5．已知函数f(x)＝x＋sinx(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，的取值范围是()A.B.C.D.答案：A解析：因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)，且f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函数为奇函数，且在R上是增函数，所以，由f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0得f(y2－2y＋3)≤f(－x2＋4x－1)，y2－2y＋3≤－x2＋4x－1.即x2＋y2－4x－2y＋4≤0，(x－2)2＋(y－1)2≤1，其表示圆(x－2)2＋(y－1)2＝1及其内部．表示满足的点P与定点A(－1,0)连线的斜率．结合图形分析可知，直线AC的斜率为＝最小，切线AB的斜率为tan∠BAx＝tan2∠PAx＝＝＝最大．二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.答案：2解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.7．(2015·湖北卷)如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为__________________________；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①＝；②－＝2；③＋＝2.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案：(1)(x－1)2＋(y－)2＝2(2)①②③解析：(1)取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB.由题意|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝＝，即圆C的半径为.又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C的坐标为(1，)，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.(2)在(x－1)2＋(y－)2＝2中，令x＝0，得y＝±1，故A(0，－1)，B(0，＋1)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN斜率不存在时，令M(0，－1)，N(0,1)，则＝＝－1，＝＝－1.∴＝.当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋－1，由得(1＋k2)x2＋2(－1)kx＋2(1－)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，kBM＋kNB＝＋＝＋＝＋＝－＋2k＝－＋2k＝0，所以kBM＝－kNB，所以∠MBA＝∠NBA，BA是∠MBN的角平分线．由内角平分线定理得＝，即＝.故＝恒成立．当k＝0时，可求得＝－1，故＝－1为定值．所以－＝－(－1)＝2，＋＝＋－1＝2，故①②③都正确．8．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________．答案：解析：根据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等...
