课时作业40直接证明与间接证明、数学归纳法一、选择题1．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(A)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.2．若a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(B)A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.<解析：在B中， a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．3．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①不正确；对于②，其假设正确．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0解析：由题意知0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.5．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(C)A．1B．2C．3D．4解析： n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.6．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(C)A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析：若a＝，b＝，则a＋b>1.但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2.则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.二、填空题7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为a1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：a，b，c，d全是负数．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．9．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答题10．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)解：由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. p，q，r∈N*，∴∴2＝pr，即(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾．∴假设不成立，即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．11．(2019·河北八校一模)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，g(n)＝2(－1)(n∈N*)．(1)当n＝1,2,3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)，当n＝2时，f(2)＝1＋，g(2)＝2(－1)，f(2)>g(2)，当n＝3时，f(3)＝1＋＋，g(3)＝2，f(3)>g(3)．(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)...
