第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(2016·课标全国乙改编)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是__________．答案(－1,3)解析 方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为____________．答案－＝1解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.3．(2016·课标全国甲改编)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．答案解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以MF1＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即MF2＝3MF1.由双曲线的定义得2a＝MF2－MF1＝2MF1＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.4．(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等.热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)；(2)双曲线：|PF1－PF2|＝2a(2a8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆定义知BA＋BC＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝＝.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为____________．(2)抛物线y2＝4x上任一点到定直线l：x＝－1的距离与它到定点F的距离相等，则该定点F的坐标为____________．答案(1)－＝1(2)(1,0)解析(1)由抛物线x2＝24y得焦点坐标为(0,6)， 双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点相同，∴c＝6，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴＝，即b＝a，又 c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)因为2p＝4，所以p＝2，可得＝1，故焦点坐标为(1,0)，即定点的坐标为(1,0)．热点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．例2(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为________．(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2...
