高考复习知识要点52.3函数的奇偶性、单调性一、函数的奇偶性:1、定义：一般地，对于函数f(x)：若对于定义域内任意一个x,都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数；若对于定义域内任意一个x,都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。若对任意一个x,都有f(－x)=－f(x),且f(－x)=f(x)，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数。若对定义域内任一个x,都有f(－x)－f(x)且f(－x)f(x),则函数f(x)为非奇非偶函数。（1）★定义域在数轴上关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。（2）、奇偶性的等价形式：对于定义域内的任意一个x,f(－x)=f(x)f(－x)－f(x)=0f(x)是偶函数函数图象关于y轴对称。f(－x)=－f(x)f(－x)+f(x)=0f(x)是奇函数函数图象关于原点对称。（3）、推广：①y=f(a+x)是偶函数f(a+x)=f(a－x)f(x)=f(2a－x)f(x)关于x=a对称。②f(a+x)=f(b－x)f(x)关于x=对称。③y=f(a+x)是奇函数f(a－x)=－f(a+x)f(x)关于点（a,0）成中心对称。④f(x+a)=f(x－a)f(x+2a)=f(x)f(x)是周期T=2a(a0)的周期函数。2、判断奇偶性的方法：（1）、定义法：①先求出函数的定义域，若函数定义域不关于原点对称，则此函数不具有奇偶性；若函数定义域关于原点对称，②再判断f(x)与f(－x)关系：若f(－x)=f(x)则是偶函数；若f(－x)=－f(x)，则f(x)是奇函数。（判断时可用等价形式）（2）、图象法：图象关于y轴对称此函数是偶函数。图象关于原点对称函数是奇函数。注：★①函数的奇偶性是函数整体的性质。★②若奇函数的定义域中含有0，则f(0)=0.★③我们通常利用函数的奇偶性来简化作图的过程。④多项式函数的奇偶性:多项式函数是奇函数的偶次项的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零.二、函数的单调性1、定义：（1）、增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意9两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。此区间就叫做函数f(x)的单调减区间。（3）单调性（单调区间）：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间(包括增区间和减区间)。2、定义等价形式：设x1，x2[a,b],则（1）在上是增函数。其几何意义是：增函数图象上任意两点，连线的斜率都大于0。（2）在上是减函数。其几何意义是：减函数图象上任意两点，连线的斜率都小于0。3、判断单调性的方法：（1）、定义法：①在给定的区间上任取x1,x2，且设x10得增区间，<0得减区间。（3）、复合函数法：如果y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数；如果y=f(u)与u=g(x)的单调性相反，则y=f[g(x)]是减函数；4、重要的结论：（1）、两个增函数的和仍为增函数；两个减函数的和仍为减函数。（2）、奇函数在对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在对称的两个区间上单调性相反。（3）、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。注意：①函数的单调性与“区间”紧密相关，函数在不同的区间上可有不同的单调性。10②单调性是函数局部的性质（定义域的某个区间上），奇偶性是整体的性质（整个定义域上）。如：虽然函数在上单调递减，在上也单调递减，但我们不能说：函数在上单调递减。11
