高考数学复习点拨 三角函数性质在解题中的应用VIP免费

三角函数性质在解题中的应用三角函数是高中数学的重点内容，也是历年高考的重点和热点内容，在高考数学试卷中占有很大的比例，三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点,三角函数中的许多问题都可以利用三角函数性质巧妙解决.本文举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围题、求函数解析式等问题。一、巧用三角函数的有界性求最值在解题中经常运用三角函数的有界性如：|sinα|≤1，|cosα|≤1来解决问题，如果运用巧妙，可以收到事半功倍的效果。例1.已知x∈［4π3，2π3］，函数y=cos2x－sinx+b+1的最大值为89，试求其最小值.解： y=－2（sinx+41）2+817+b，又－1≤sinx≤22，∴当sinx=－41时，ymax=817+b=89b=－1；当sinx=22时，ymin=－22.简评：本题巧妙地利用三角函数的有界性解决代数式的最值问题。这类题目要求学生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。二、巧用三角函数的奇偶性求参数值正弦函数、余割函数、正切函数、余切函数是奇函数，余弦函数、正割函数是偶函数；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，适时地运用三角函数的奇偶性解题可简化运算。例2.把函数y=cos（x+3π4）的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是A.3π4B.3π2C.3πD.3π5剖析：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移个单位后的解析式为y=cos（x+3π4+），则cos（－x+3π4+）=cos（x+3π4+），cosxcos（3π4+）+sinxsin（3π4+）=cosxcos（3π4+）－sinxsin（3π4+）.∴sinxsin（3π4+）=0，x∈R.∴3π4+=kπ.∴=kπ－3π4＞0.∴k＞34.∴k=2.∴=3π2.用心爱心专心答案：B三、巧用三角函数的单调性比较大小正弦函数在[－2+2kπ，2+2kπ]上是单调增函数，在[2+2kπ，23+2kπ]上是单调减函数；余弦函数在[－π+2kπ，2kπ]上是单调增函数，在[2kπ，π+2kπ]上是单调减函数；正切函数在（－2+kπ，2+kπ）上是单调增函数，其中k∈z.利用三角函数的单调性可以求参数范围、比较大小、求（最）值等等。例3.f（x）=2cos2x+3sin2x+a（a为实常数）在区间［0，2π］上的最小值为－4，那么a的值等于A.4B.－6C.－4D.－3解析：f（x）=1+cos2x+3sin2x+a=2sin（2x+6π）+a+1. x∈［0，2π］，∴2x+6π∈［6π，6π7］.∴f（x）的最小值为2×（－21）+a+1=－4.∴a=－4.答案：C.四、巧用三角函数的周期性解题正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数、余切函数的周期是π.三角函数的周期性常和三角函数的图象结合起来考查。例4.已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x=31时，f（x）max=2.（1）求f（x）.（2）在闭区间［421，423］上是否存在f（x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.解：（1）f（x）=3sinπx+cosπx=2sin（πx+6π）.（2）令πx+6π=kπ+2π，k∈Z.∴x=k+31，421≤k+31≤423.∴1259≤k≤1265.∴k=5.故在［421，423］上只有f（x）的一条对称轴x=316.例5．已知函数2()sin()(0,0,0)2fxAxA，且()yfx的最大用心爱心专心值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.（I）求（II）计算(1)(2)(2008)fff.解：（I）2sin()cos(22).22AAyAxx()yfx的最大值为2，0A.2,2.22AAA又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，12()2,.22422()cos(2)1cos(2)2222fxxx.()yfx过(1,2)点，cos(2)1.222,,2kkZ22,,2kkZ,,4kkZ又0,24.（II）解法一：4，1cos()1sin.222yxx(1)(2)(3)(4)21014ffff.又()yfx的周期为4，20084502，(1)(2)(2008)45022008.fff解法二：2()2sin()4fxx223(1)(3)2sin()2sin()2,44ff22(2)(4)2sin()2sin()2,2ff(1)(2)(3)(4)4.ffff又()yfx的周期为4，20084502...