限时规范训练八圆锥曲线中的定点、定值探索问题(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且F1M·F2M＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求MN的最小值；(3)以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．解：(1)∵e＝＝，且过点P，∴解得∴椭圆方程为＋＝1.(2)设点M(4，y1)，N(4，y2)，则F1M＝(5，y1)，F2M＝(3，y2)，F1M·F2N＝15＋y1y2＝0，∴y1y2＝－15.又∵MN＝|y2－y1|＝＝＋|y1|≥2，∴MN的最小值为2.(3)证明：圆心C的坐标为，半径r＝.圆C的方程为(x－4)2＋2＝，整理得x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋16＋y1y2＝0.∵y1y2＝－15，∴x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋1＝0，令y＝0，得x2－8x＋1＝0，∴x＝4±.∴圆C过定点(4±，0)．2．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ＞0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝.从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.3．已知点A(2，2)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线C的方程；(2)设定点D(0，m)(m＜0)，过D作直线y＝kx＋m(k＞0)与抛物线C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)(y1＜y2)两点，连接ON(O为坐标原点)，过点M作垂直于x轴的直线交ON于点G.(ⅰ)证明：点G在一条定直线上；(ⅱ)求四边形ODMG面积的最大值．解：(1)∵A(2，2)在抛物线x2＝2py上，∴(2)2＝4p，p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)(ⅰ)证明：由消去y整理得x2－4kx－4m＝0.∵M(x1，y1)，N(x2，y2)是y＝kx＋m与x2＝4y的交点，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，直线ON的方程为y＝x，∴yG＝x1＝x1＝＝－m为定值，所以，点G在一条定直线y＝－m上．(ⅱ)易知四边形ODMG为梯形，∴S＝[－m＋(－m－y1)]x1＝x1＝－mx1－x.结合图形易知0＜x1＜2，S′＝－m－x，由S′＝0得x＝－m，解得x1＝＜2，当x1∈时，S′＞0；当x1∈时，S′＜0，∴S在上单调递增，上单调递减，∴当x＝时，Smax＝－m－＝＝－.4．设抛物线C1：y2＝4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长；(3)若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作⊙M，是否存在定⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切？若存在，求出⊙N的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)椭圆方程为＋＝1.(2)当直线L与x轴垂直时，B1，B2，又F1(－1,0)，此时B1F1·B2F1≠0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件．当直线L不与x轴垂直时，设L：y＝k(x－1)，由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为焦点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒有两个交点．设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以B1F1·B2F1＝0，又F1(－1,0)，所以(－1－x1)(－1－x2)＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，解得k2＝.由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.因为直线L与抛物线有两个交点，所以k≠0.设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则x3＋x4＝＝2＋，x3x4＝1，所以|A1A2|＝x3＋x4＋p＝2＋＋2＝.(3)存在定⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切，其方程为：(x＋1)2＋y2＝16，圆心是左焦点F1.由椭圆的定义可知：|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，所以|MF1|＝4－|MF2|，所以两圆相内切．
