数学思想专项练(二)数形结合思想(对应学生用书第124页)题组1利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4B[ a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点．]2．已知函数f(x)＝|log2|x||－，则下列结论正确的是()A．f(x)有三个零点，且所有零点之积大于－1B．f(x)有三个零点，且所有零点之积小于－1C．f(x)有四个零点，且所有零点之积大于1D．f(x)有四个零点，且所有零点之积小于1A[在同一坐标系中分别作出f1(x)＝|log2|x||与f2(x)＝的图象，如图所示，由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x1，x2，x3，因为f＜0，f＞0，所以－＜x1＜－，同理＜x2＜1,1＜x3＜2，即－1＜x1x2x3＜－，即所有零点之积大于－1.]3．(2016·内蒙古包头一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在[0,2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为()A．8B．－8C．0D．－4B[此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0,2]上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示．由图看出，四个交点中，y轴左侧的两个交点的横坐标之和为2×(－6)＝－12，另两个交点的横坐标之和为2×2＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.故选B.]4．(2017·湖南湘中名校联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若x1＜f(x1)＜x2，则关于x方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实数根的个数不可能为()A．2B．3C．4D．5D[由题意，得f′(x)＝－x2＋2ax＋b.因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程－x2＋2ax＋b＝0的两个实数根，所以由[f(x)]2－2af(x)－b＝0，可得f(x)＝x1或f(x)＝x2.由题意，知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又x1＜f(x1)＜x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实根个数不可能为5，故选D.]5．(2016·合肥二模)若函数f(x)＝a＋sinx在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a＝________.1[函数f(x)＝a＋sinx在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a＋sinx＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y＝－a与y＝sinx，x∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a＝1.]6．设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是________.【导学号：07804147】8[由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况．在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质，若lgx∈Q，则由lgx∈(0,1)，可设lgx＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，因此10＝，则10n＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx∉Q，因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期x∉D部分的交点．画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D部分，且x＝1处(lgx)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程解的个数为8.]题组2利用数形结合思想求解不等式或参数范围7．若不等式logax＞sin2x(a＞0，a≠1)对任意x∈都成立，则a的取值范围为()A.B．C.D．(0,1)A[记y1＝logax(a＞0，a≠1)，y2＝sin2x，原不等式即为y1＞y2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y1＝logax的图象过点A时，a＝，所以当＜a＜1时，对任意x∈都有y1＞y2.]8．(2017·山西重点中学5月联考)已知实数x，y满足不等式组若x2＋y2的最大值为m，最小值为n，则m－n＝()A.B．C．8D．9B[作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，x2＋y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线x＋y－3＝0的距离|OD|的平方等于n，|OA|2＝m，经过计算可得m＝13，n＝，则m－n＝，故选B.]9．如图1，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()图1A．{x|－1
