命题角度4.2：空间几何体体积与距离问题1.如图，是边长为的正方形，平面，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（Ⅱ）先根据勾股定理求底面三角形的三边的长，进而根据其特性求底面三角形的面积，再根据棱锥的体积公式求解即可.（Ⅱ）设，连接，.由（Ⅰ）知，平面，所以平面.因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，所以.因为正方形的边长为，，所以，.取的中点，连接，则.所以等腰三角形的面积为.所以.所以三棱锥的体积为.2.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面，且平面平面，可证得平面，进而平面平面；（Ⅱ）（Ⅱ）由，为的中点，可得．由平面平面，可得平面．设，梯形面积为，则S△ABQ=，，利用即可求得.（Ⅱ） ，为的中点，∴， 平面平面，且平面平面，∴平面．设，梯形面积为，则三角形的面积为，．又设到平面的距离为，则，根据题意，∴，故，为中点，所以．3.如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直，平面，且，.（1）求证：平面；（2）若，求几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）3.【解析】试题分析：（1）过点作于，连接，可证四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）若，利用分割法，将几何体分成两个棱锥，结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.∴平面.又 平面，，∴.∴四边形为平行四边形，∴. 平面，平面，∴平面.（2）连接，由题意得为正三角形，∴. 平面⊥平面，平面，平面平面，平面. ，平面，平面，∴平面，同理，由可证平面， ，平面，平面，∴平面∥平面，∴到平面的距离等于的长. 为四棱锥的高，∴.4.如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.又，所以平面，所以，所以几何体的体积.5.在三棱柱中，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接.利用中点可得，所以平面.（2）取中点，连接，过点作于，连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：连接交于点，连接.则为的中点，又为的中点，所以，且平面，平面，则平面.（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.因为点在平面的射影在上，且，所以平面，∴，，∴平面，则.设，在中，，，∴，，，由，可得.则.所以三棱锥的体积为.6.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）可直接运用线面平行的判定定理推证；（2）借助三棱锥可换底的特征，运用三棱锥的体积公式建立方程求解：解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，在中，，故.又平面平面平面.，得，所以三棱锥的体积为.又.在中，，故点到平面的距离为.7.如图，在四棱锥中，，，，平面.（1）求证：平面；（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直...
