课时作业8三角变换与解三角形1．[2018·全国卷Ⅲ]若sinα＝，则cos2α＝()A.B.C．－D．－解析： sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.答案：B2．已知sin＝，cos2α＝，则sinα等于()A.B．－C．－D.解析：(1)由sin＝，得sinαcos－cosαsin＝，即sinα－cosα＝，①又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝，即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，因此cosα＋sinα＝－.②由①②得sinα＝，故选D.答案：D3．[2018·全国卷Ⅱ]在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B.C.D．2解析： cos＝，∴cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝＝4.故选A.答案：A4．[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝的最小正周期为()A.B.C．πD．2π解析：由已知得f(x)＝＝＝＝sinx·cosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.故选C.答案：C5．设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝解析：通解由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin(α－β)＝cosα，又cosα＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因为α∈，β∈，所以－<α－β<，0<－α<，因为α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.优解一 tan＝，由tanα＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.把β＝2α－代入＝＝＝tanα，题设成立．故选C.优解二＝＝tan∴tanα＝tan又 α∈，β∈，∴∈，∴＋∈，∴α＝＋，∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.答案：C6．[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝()A.B.C.D.解析： S＝absinC＝＝＝abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1. C∈(0，π)，∴C＝.故选C.答案：C7．[2018·广州调研]将函数y＝2sinsin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为()A.B.C.D.解析：由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为，选A.答案：A8．[2018·郑州测试]在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝()A.B.C.D．2解析：依题意得，bcsinA＝c＝，则c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝，故选B.答案：B9．[2018·安徽质量检测]在锐角三角形ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，则B的取值范围为()A.B.C.D.解析：解法一由b2cosAcosC＝accos2B，并结合正弦定理得sin2BcosAcosC＝sinAsinCcos2B，即tan2B＝tanAtanC，所以tan2B＝－tanAtan(A＋B)，即tan2B＝－tanA·，整理得tan2A－(tan3B－tanB)tanA＋tan2B＝0，则关于tanA的一元二次方程根的判别式Δ＝(tan3B－tanB)2－4tan2B≥0，所以(tan2B－3)(tan2B＋1)≥0，所以tanB≥，又△ABC为锐角三角形，所以≤B<，即B的取值范围为.解法二由b2cosAcosC＝accos2B，并结合余弦定理得b2··＝ac·2，即(b2＋c2－a2)·(b2＋a2－c2)＝(c2＋a2－b2)2，即b4－(a2－c2)2＝b4＋(c2＋a2)2－2b2(c2＋a2)，化简得a4＋c4＝b2(c2＋a2)，则cosB＝＝＝≤＝，当且仅当a＝c时，等号成立．又△ABC为锐角三角形，所以≤B<，即B的取值范围为.答案：B10．[2018·安徽省质量检测]已知α∈，cos＝，则sin＝________.解析：由α∈可得α＋∈，又cos＝，∴sin＝，∴sin＝sin＝sin＋cos＝×＋×＝.答案：11.如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝________m.解析：分析题意可知，设CD＝h，则AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度为10m.答案：1012．[2018·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析： bsinC＋...
