专题三～六规范滚动训练(六)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1＝4.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40＝2(人)，记这2名学生分别为e，f，则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，所以P(A)＝＝.2．如图，在三棱锥PABC中，△PAC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形AB＝1.(1)现给出三个条件：①PB＝，②PB⊥BC，③平面PAB⊥平面ABC，试从中任意选取一个作为已知条件，并证明PA⊥平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥PABC的体积．解：法一：选取条件①.(1)在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝.又PA＝AC，∴PA＝.在△PAB中，AB＝1，PA＝，PB＝，∴AB2＋PA2＝PB2，∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB，又PA⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC.(2)由(1)可知PA⊥平面ABC.∴V三棱锥PABC＝PA·S△ABC＝×××12＝.法二：选取条件②.(1)∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥AC，BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝PA＝.∴V三棱锥PABC＝×AB×BC×PA＝××1×1×＝.法三：选取条件③.(1)∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥AC，BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝PA＝.∴V三棱锥PABC＝×AB×BC×PA＝××1×1×＝.3．已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于y轴的正半轴上，圆C与x轴交于A，B两点，|AB|＝4，点B到直线AC的距离为.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线y＝kx－1(k∈R)与圆C交于M，N两点，OM·ON＝－2(O为坐标原点)，求k的值．解：(1)设圆C：x2＋(y－a)2＝r2(a＞0，r＞0)，圆心C(0，a)，依题意不妨设A(－2,0)，B(2,0)，所以直线AC的方程为ax－2y＋2a＝0，因为点B到直线AC的距离为，所以＝，解得a＝±1，因为a＞0，所以a＝1，所以r＝|AC|＝，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又直线y＝kx－1与圆C交于M，N两点，联立，消去y得(1＋k2)x2－4kx－1＝0.Δ＝(－4k)2＋4(1＋k2)＝4(5k2＋1)＞0恒成立，即直线与圆恒有两个不同的交点．由根与系数的关系知x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1－1)(kx2－1)＝k2x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝，因为OM·ON＝－2，所以x1x2＋y1y2＝＋＝＝－2，解得k＝±1.4．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)在x＝－1处的切线方程为ex－y＋e＝0.(1)求实数a，b的值；(2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞0.解：∵f(x)＝∴f′(x)＝.(1)因为函数f(x)在x＝－1处的切线方程为ex－y＋e＝0，所以，所以，解得(2)由(1)可知，f′(x)＝－.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增1单调递减不妨设x1＜x2，因为f(x1)＝f(x2)，所以x1＜0＜x2，则－x1＞0.记g(x)＝f(－x)－f(x)，即g(x)＝(1－x)ex－，所以g′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋＝－xex＋＝.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0－g(x)单调递减0单调递减所以g(x1)＞g(0)＝0，故f(－x1)＞f(x1)．所以f(－x1)＞f(x2)．因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以－x1＜x2，故x1＋x2＞0.
