高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形的综合应用练习 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

第7讲解三角形的综合应用[基础题组练]1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．10kmC．10kmD．10km解析：选D.由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km)．2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析：选C.因为tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)．3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，在Rt△BCD中，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.4．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cosα＝cosβ，则v＝()A．60B．80C．100D．125解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋β)①，由正弦定理得＝，所以sinα＝sinβ.又cosα＝cosβ，sin2α＋cos2α＝1，解得sinβ＝，故cosβ＝，sinα＝，cosα＝，故cos(α＋β)＝－＝0，代入①解得v＝100.5．地面上有两座相距120m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A．50m，100mB．40m，90mC．40m，50mD．30m，40m解析：选B.设高塔高Hm，矮塔高hm，在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tanα＝，tan＝，根据三角函数的倍角公式有＝.①因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，由tanβ＝，tan＝，得＝.②联立①②解得H＝90，h＝40.即两座塔的高度分别为40m，90m.6．(2020·河北衡水三模)在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD为边BC上的高，点E满足AD＝3AE，若AB＝m，则BE的长为________．解析：因为△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，AD⊥BC，所以∠ABC＝30°，∠BAD＝60°，又因为AB＝m，所以AD＝m，由AD＝3AE，得AE＝m，在△ABE中，AB＝m，AE＝m，∠BAE＝60°，所以由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAE＝m2＋m2－2m×m×cos60°＝m2，所以BE＝m.答案：m7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84m，则塔高CD＝________m.解析：设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝xm.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2·x2cos150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12m.答案：128．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________．解析：因为AC＝，BC＝，△ABC的面积为＝AC·BC·sin∠ACB＝×××sin∠ACB，所以sin∠ACB＝，所以∠ACB＝或，若∠ACB＝，∠BDC＝<∠BAC，可得∠BAC＋∠ACB>＋>π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝，所以在△ABC中，由余弦定理可得AB＝＝＝，所以AB＝AC，所以∠B＝，所以在△BCD中，由正弦定理可得CD＝＝＝.答案：9．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.所以BC＝5.10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)·cosB－bcosC...