压轴题突破练(一)1．已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求数列{an}的通项公式．2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2，4]时的最小值．压轴题突破练(一)1．解(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：因为数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0.可得a1＝1，d＝0或d＝2.当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1.(2)(ⅰ)记An＝{1，2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1.对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1，2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1，2，3，4}，故1＋a2＝4，所以a2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数．而集合{a1，a2，1…，an，an＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1，2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.又Sn＋1＋＝3，所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·3n－－＝3n－1.而a1＝1也满足an＝3n－1.所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.2．解(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，又因为－2≤x≤－1，所以a≥在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，所以a≥.(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝①若a≥－，则x∈[2，4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；②若a＜－，则x∈[2，4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.③若－≤a＜－，则x∈[2，4]时，g(x)＝当x∈[2，1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5；当x∈[1－2a，4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，所以g(x)最小值为4a＋5，综上所述，[g(x)]min＝2
