考点23数列求和及综合应用一、填空题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.【解题指南】由an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn,两边同时除以Sn+1·Sn,得-=-1,构造数列,求Sn.【解析】由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn,两边同时除以Sn+1·Sn,得得，构造数列，求.【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．答案:-2.(2015·江苏高考·T11)数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项和为.【解题指南】利用累加法求出数列{an}的通项公式,再利用裂项相消法计算{}的前10项和.【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=,所以,所以{}的前10项和==.答案:3.(2015·福建高考理科·T15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.【解题指南】根据题中所给信息解题.【解析】根据题意,列出检验方程组,显然第一个式子和第三个式子错误,第二个式子没有影响,所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元,只有x5,验证一下把x5换成0,上式检验方程组都成立,所以x5出错了,即k=5.答案:5二、解答题4.(2015·浙江高考理科·T20)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*).(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明≤≤(n∈N*).【解题指南】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，，从而得，即可得证.【证明】（1）由题意得，，即，，由得，由得，，即（2）由题意得，，所以，①由和得，，所以所以，②由①②得.5.(2015·广东高考理科·T21)数列{an}满足a1+2a2+…+nan=4-,n∈N*.(1)求a3的值.(2)求数列{an}的前n项和Tn.(3)令b1=a1,bn=+an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.【解题指南】(1)直接利用已知等式令n=2,n=3,然后两式相减求解.(2)求出数列{an}的通项公式,再求出前n项和Tn.(3)先求出Sn再放缩,构造函数,利用导数求解.【解析】（1）令n=2，①令n=3，②②-①得所以.（2）由（1）知，当n>1时，所以，又因为也适合此式，所以数列故.(3)记f(x)=lnx+-1(x>1),则f′(x)=-=>0,所以f(x)在(1,+∞)上是增函数,又f(1)=0即f(x)>0,又k≥2且k∈N*时,,6.(2015·广东高考文科·T19)设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值.(2)证明:为等比数列.(3)求数列{an}的通项公式.【解题指南】（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．【解析】（1）当时，，即，解得：(2)（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列(3)由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是7.(2015·北京高考文科·T16)(13分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{an}的通项公式.(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{an}的第几项相等?【解题指南】利用等差数列与等比数列的基本量计算.【解析】(1)设等差数列公差为d,则d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2=10,所以a1=4.因此,an=4+(n-1)×2=2(n+1).(2)设等比数列公比为q,则b2=8,b3=16,所以q==2,b1=4,bn=2n+1,b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.所以b6是数列{an}的第63项.8.(2015·山东高考理科·T18)(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求数列{bn}的前n项和Tn.【解题指南】(1)an=Sn-Sn-1要注意n≥2并验证n=1是否满足所求出的关系式.(2)利用错位相...
