考点集训(四十三)第43讲直接证明与间接证明1．要证明a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥02．若实数a，b满足a＋b<0，则A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于03．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定4．若＝loga，|logba|＝－logba，则a，b满足的条件是A．a＞1，b＞1B．0＜a＜1，b＞1C．a＞1，0＜b＜1D．0＜a＜1，0＜b＜15．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负6．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是______________．7．求使＋≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值．8．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°.(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°.(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°.(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°.(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．9．(1)求证：当a>1时，不等式a3＋>a2＋成立．(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，也请说明理由．(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．答案题号1234第43讲直接证明与间接证明【考点集训】1．D2.D3.C4.B5.A6.a≥0，b≥0且a≠b7．【解析】设u＝＝＝＝.∵x＞0，y＞0，∴x＋y≥2(当且仅当x＝y时，等号成立)，∴≤1，即≤，∴a的最小值为.8．【解析】①选择(2)式计算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.②三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.9．【解析】(1)a3＋－a2－＝，因为a>1，所以>0，故原不等式成立．(2)能将条件“a＞1”适当放宽．理由如下：由于a－1与a5－1对于任意的a>0且a≠1都保持同号，所以上述不等式对任何a>0且a≠1都成立，故条件可以放宽为a>0且a≠1.(3)根据(1)、(2)的证明，可推知：若a>0且a≠1，m>n>0，则有am＋>an＋.证明如下：am－an＋－＝an－＝，若a>1，则由m>n>0得am－n－1>0，am＋n－1>0，知不等式成立；若0
n>0得am－n－1<0，am＋n－1<0知不等式成立．
