命题角度3：利用导数研究函数的零点、方程的根1．已知函数（且），为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由导函数的解析式可得．(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．（Ⅱ），，令，得，则①当时，，极小值所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，因为当时，，所以此方程无解．②当时，，极小值所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即（）（*）设，则，令，得，当时，；当时，；所以当时，，所以方程（*）有且只有一解．综上，时函数只有一个零点．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．2.设函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，讨论函数与图像的交点个数．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数,的零点个数问题，通过求导，得到函数F（x）的单调区间，求出F（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．（Ⅱ）解：令，问题等价于求函数的零点个数，当时，，有唯一零点；当时，，当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，所以，而，所以有唯一零点.综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.3.已知函数（）.（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）讨论函数在区间上零点的个数.【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：由，直线的斜率为，所以得出a值，（2）确定函数的单调区间大于零或小于零解不等式即可注意当当，时（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，而，故在上没有零点；当时，在上单调递增，而，故在上有一个零点；只需讨论当时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可试题解析：（1）由题可知的定义域为，因为，所以又因为直线的斜率为，，解得（2）由（1）知：，当时，，所以在上单调递增；当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，而，，，若，即时，在上没有零点；若，即时，在上有一个零点；若，即时，由得，此时，在上有一个零点；由得，此时，在上有两个零点；③若，即时，在上单调递增，，，在上有一个零点.综上所述：当或时，在上有一个零点；当或时，在上没有零点；当时，在上有两个零点.4.已知函数.（1）当时，求证：对时，；（2）当时，讨论函数零点的个数.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导，再求导得恒成立，又因为恒成立；（2）由（1）可知，当x≤0时，f″(x)≤0，可得对∀x∈R，f′(x)≥0，即ex≥x+1，分类讨论当x≥-1时，当x＜-1时，函数y=f(x)的零点个数即可得解；当x＜-1时，再分0≤m≤1和m＜0两种情况进行讨论，由函数零点定理进行判断即可得到答案.试题解析：，所以(1)当时，，则，令，则，当时，，即，所以函数在上为增函数，即当时，，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.(2)由（1）知，当时，，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对，，即.①当时，，又，，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为.②当时，（ⅰ）当时，，所以，所以函数在上递增...
