二分法的应用——你了解多少函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终，而且函数与方程紧密联系，函数的零点就是相应方程的实数根，研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间。本文通过几个具体例子来看看二分法有何应用。一、求方程的近似解例1.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到0.1).证明:设函数使f(x)=2x+3x-6. f(l)=-1<0,f(2)=4>0,又 f(x)是增函数，所以函数f(x)=2x＋3x-6在区间[1,2]有唯一的零点，则方程6-3x=2x在区间[1,2]有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1=1.5，f(1.5)=0.33>0，.F(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)．取x2＝1.25，f(1.15)＝0.128＞0，f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)＝-0.44＜0，f(1.125)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.125,1.25)．取x4＝1.1875,f(1.1875)＝-0.16＜0，f(1.1875)·f(1.25)＜0，∴.x0∈(1.1875,1,25)． |1.25-1.875|=0.0625＜0.1，∴可取x0＝1.2，则方程的实数解为x0=1.2.点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器．二、判断方程解的个数例2.已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点．分析:不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)=0至多有一个实根，考虑用反证法证明．证明:假设f(x)=0至少有两个不同的实根x1,x2，且不妨设x10,可取区间[1,2]作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：用心爱心专心由上表的计算可知，区间[1.375,1.438]的长度小于0.1，所以这个区间的中点x5≈1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.函数f(x)=x3+x2-2x-2的图象如图.实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.点评：给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点的近似值应该按课本P105的四个步骤进行.四、确定函数零点的个数例4．二次函数y=ax2+bx+c中,ac＜0，则函数零点个数为.分析: c=f(0),∴ac=af(0)<0,∴a与f(0)异号.即0)0(0fa或0)0(0fa.∴函数必有两零点．或 ac＜0∴△＝b2-4ac＞0,∴函数有两个零点.答案:2.点评：用二分法求方程近似解，关键是判断近似解所在的区间（a,b），用二分法选定初始区间时，往往通过分析函数图象的变化趋势，并通过试验确定端点。五、求一些无理数的值二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它还有很多应用，例如求一些无理数的值，解决实际问题等．例5.求32的近似值．（精确到0.01)分析：若设x=32，则x3-2=0，因此32的近似值就是方程x3-2=0的根的近似值，也就是函数y=x3-2的近似零点．解：设x=32，则x3-2=0,令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：用心爱心专心端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间f(1)=-2<0f(6)=6>0[1,2]x1=(1+2)/2=1.5f(x1)=0.625>0[1,1.5]X2=(1+1.5)/2=1.25f(x2)=-0.984<0[1.25,1.5]X3=(1.25+1.5)/2=1.375f(x3)=-0.260<0[1.375,1.5]X4=(1.375+1.5)/2=1.438f(x4)=0.165>0[1.375,1.438]X5=(1.375+1.438)/2=1.4065f(x5)=-0.052<0例3题图x1-2-10y区间［1.2578125，1.265625］的长度1.265625-1.2578125=0.00781<0.01，所以这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值是1.26,即32的近似值是1.26.六、解决实际应用问题二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它在现实生活中也有许多重要的应用．例5.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发...
