专题一～三规范滚动训练(三)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＋2an＝2(n∈N*)．(1)求证：数列{}是等差数列；(2)设bn＝(1－an)(1－an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)∵Tn＋2an＝2，∴当n＝1时，T1＋2a1＝2，∴T1＝，即＝.又当n≥2时，Tn＝2－2×，得Tn·Tn－1＝2Tn－1－2Tn，∴－＝，∴数列{}是以为首项，为公差的等差数列．(2)由(1)知，数列{}为等差数列，∴＝＋(n－1)＝，∴an＝＝，∴bn＝(1－an)(1－an＋1)＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝－＝.2．已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinB＋sinC－asinA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝，求b＋c的取值范围．解：(1)因为sinB＋sinC－asinA＝0，由正弦定理得b＋c－a2＝0，化简得b2＋c2－a2－bc＝0，即cosA＝＝，A＝.(2)由正弦定理可得＝＝＝＝2，所以b＝2sinB，c＝2sinC，b＋c＝2(sinB＋sinC)＝2＝2＝3sinB＋cosB＝2sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜，即＜sin≤1，所以b＋c∈(，2)．3．用五种不同的颜色来涂如图所示的田字形区域，要求同一区域上用同一种颜色，相邻区域用不同的颜色(A与C、B与D不相邻)．ABDC(1)求恰好使用两种颜色完成涂色任务的概率；(2)设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务，记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解：(1)按要求完成涂色任务，可分成三个互斥事件：恰好使用两种颜色完成涂色任务、恰好使用三种颜色完成涂色任务、恰好使用四种颜色完成涂色任务．恰好使用两种颜色完成涂色任务共有A＝20种方法；恰好使用三种颜色完成涂色任务共有2CCA＝120种方法；恰好使用四种颜色完成涂色任务共有A＝120种方法．1所以按要求完成涂色任务，共有20＋120＋120＝260种方法．记“恰好使用两种颜色完成涂色任务”为事件A，则P(A)＝＝.(2)由已知可得ξ＝0,1,2.记“恰好使用三种颜色完成涂色任务”为事件B，“恰好使用四种颜色完成涂色任务”为事件C.由(1)得P(B)＝＝，P(C)＝＝.所以P(ξ＝0)＝P(A)P(A)＋P(B)P(B)＋P(C)P(C)＝2＋2＋2＝，P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(B)P(C)＋P(B)P(A)＋P(C)P(B)＝2＝，P(ξ＝2)＝P(A)P(C)＋P(C)P(A)＝×＋×＝.所以ξ的分布列为ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.4．某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,35](单位：百元)内的手机的利润情况，从2016年度销售的一批手机中随机抽取100部，按其价格分成6组，频数分布表如下：价格分组(单位：百元)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35]频数(部)52520152510(1)试根据上述表格中的数据，完成频率分布直方图；(2)用分层抽样的方法从这100部手机中共抽取20部，再从抽出的20部手机中随机抽取2部，用X表示抽取价格在区间[20,35]内的手机的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．解：(1)价格在区间[5,10)内的频率为＝0.05，价格在区间[10,15)内的频率为＝0.25，价格在区间[15,20)内的频率为＝0.2，价格在区间[20,25)内的频率为＝0.15，价格在区间[25,30)内的频率为＝0.25，价格在区间[30,35]内的频率为＝0.1.频率分布直方图如下图：(2)因为各层抽取的手机数量之比为1∶5∶4∶3∶5∶2，故在抽取的20部手机中，价格在区2间[20,35]内的手机有20×＝10部，X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝＝1.3
