应用平面向量的数量乘积解题平面向量的代数形式即是坐标运算．而向量与代数中的一些问题如函数最值问题等，即是通过向量的数量积的坐标表示联系起来的，向量与其他知识的交汇点，已成为命题的一个热点．本文举例说明平面向量的数量乘积在解题中的重要作用.一、平面向量的数量积及运算律例1.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为θ=1500,求a·b,(a-b)2，|a+b|．分析：利用平面向量的数量积的定义，性质及运算律可直接求a·b,(a-b)2，求|a+b|，应先求|a+b|2，再开方．解后反思:本题注意(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2这一公式的应用;另外求模的方法也要注意.二、两向量夹角问题例2.已知||2||0ab,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.[0,6]B.[,]3C.2[,]33D.[,]6解析：,0||2||ba且关于x的方程0||2baxax有实根，则2||4aab≥0，设向量,ab的夹角为θ，cosθ=||||abab≤221||1412||2aa，∴θ∈],3[，选B.三、向量的模的间题例3.分析：应用向量的数量积的运算将待求式子转化为以θ为变量的式子．可求第1问，第2问先假设等式成立，通过模的关系建立θ与k的关系式，通过三角函数的有界性确定k的范围．用心爱心专心解后反思:本题涉及向量、三角函数、不等式等内容,本题的关键是用向量的数量积解决范围问题,其中第二问不少同学直接将a,b坐标代入求解,致使题目运算相当复杂,应当注意题目答案所提供的方法.四、向量数量积的坐标运算例4.设a=（4，-3），b＝（2，1），若a＋tb与b的夹角为450，求实数t的值．分析:利用公式a·b=|a||b|cosθ，建立方程，解出t.方法归纳:本题考查了向量的坐标运算、模、数量积、一元二次方程等知识，要求对相关知识准确理解．五、利用向量垂直的条件解题例5.已知a=(3，-1).b=(23,21)且存在实数k和t，使得x=a＋(t2-3)b.y=-ka＋tb，且x⊥y，试求ttk2的最小值.分析：根据题目中的垂直关系和坐标运算列方程求解．解：由题得：解后反思:本题具有综合性,要注意观察题目当中的条件,利用垂直这一突破口,列出方程求解k与t的关系式.注意：本题中a与b尽管有坐标，但如果直接求出x与y坐标再用用心爱心专心x·y=0求解，则过程太复杂，应先求解|a|、|b|、a·b，这样可使整个题目步骤简洁，运算减少！例6.已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：b⊥（a+tb）分析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b·（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb）（1）解：设a与b的夹角为θ，则|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a·（tb）=|a2+t2|b2+2t|a|b|cosθ=|b|2（t+||||abcosθ）2+|a|2sin2θ，所以当t=－||||abcosθ=－2||||cos||abb=－2ab|b|时，|a+tb|有最小值（2）证明：因为b·（a+tb）=b·（a－2ab|b|·b）=a·b－a·b=0，所以b⊥（a+tb）点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便。对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形。读者可尝试用后一方法解答本题六、利用向量解决生活中的问题例7.电力公司在为某新建工厂架设电线的施工中，遇到下面情况：道路拐弯处的电线杆②为保持稳定竖立，要加一根固定拉索l，设由电线杆①和电线杆③拉出的电线在电线杆②处交成角α,且对电线杆②的拉力各为F1、F2,拉索l对电线杆②的拉力是F3，l在地面的投影与角α的平分线在地面的投影在一条直线上，l与其地面投影的夹角为β，不考虑其他物理因索，只考虑电线和拉索在电线杆②顶点O处的受力平衡，并有...
