压轴提升卷(一)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝2x＋m(m∈R且m≠0)与曲线E相交于P，Q两点，点M，求△MPQ面积的取值范围．解：(1)设C(x，y)．由题意，可得·＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立，得消去y，可得6x2＋4mx＋m2－2＝0，∴Δ＝48－8m2＞0，∴m2＜6.∵x≠±1，∴m≠±2.又m≠0，∴0＜m2＜6且m2≠4.∵x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|PQ|＝|x1－x2|＝·＝·＝·.又点M到直线y＝2x＋m的距离d＝，∴△MPQ的面积S△MPQ＝···＝·|m|·＝，∴S＝m2(6－m2)≤＝.∵0＜m2＜6且m2≠4，∴S∈，∴△MPQ面积的取值范围为.2．(本题满分12分)已知函数f(x)＝＋x2－x(其中e＝2.71828…)．(1)求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)已知函数g(x)＝－aln[f(x)－x2＋x]－－lnx－a＋1，若对任意x≥1，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝＋2x－1，f(1)＝，所以f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝1，所以f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝x－1，即ex－ey－e＋1＝0.(2)由题意知函数g(x)＝－(a＋1)lnx＋ax－－a＋1，所以g′(x)＝－＋a＋＝＝，①若a≤0，当x≥1时，g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上是减函数，故g(x)≤g(1)＝0；②若0＜a＜1，则＞1，当1＜x＜时，g′(x)＜0，当x＞时，g′(x)＞0，所以g(x)在上是减函数，在上是增函数，故当1＜x＜时，g(x)＜g(1)＝0；③若a≥1，则0＜≤1，当x≥1时，g′(x)≥0，所以g(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0.综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．
