考点35直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题（2014·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ4）相同已知表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,nα,⊂则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解题提示】否定一个结论,只需一个反例即可.【解析】选B.如图,正方体中,直线分别与平面平行，但是直线相交，故选项（A）错误；根据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项（B）正确；直线,但直线故选项（C）错误；直线，但直线故选项（D）错误2.(2014·广东高考文科·T9)(2014·广东高考理科)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题提示】由于l2∥l3,所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断.【解析】选D.因为l2∥l3,所以l1⊥l2,l3⊥l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1⊥l4,l1∥l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,但不是一定成立,故l1与l4的位置关系不确定.二、解答题3.(2014·湖北高考文科·T13)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ.(2)直线AC1⊥平面PQMN.【解题指南】(1)通过证明FP∥AD1,得到BC1∥FP,根据线面平行的判定定理即可得证.(2)证明BD⊥平面ACC1,得出BD⊥AC1,进而得MN⊥AC1,同理可证PN⊥AC1,根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1⊥平面PQMN.【解析】(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.4.（2014·湖南高考文科·Ｔ18）（本小题满分12分）如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【解题提示】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）根据二面角的平面角的定义，及线线角的定义解。【解析】(1)如图，因为,所以连接，由题设知，是正三角形,又E是AB的中点，所以,面,故.(2)因为所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即是BC与OD所成的角。由（1）知，，所以又,于是是二面角的平面角，从而不妨设,则,易知在中，连接AO，在中，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为5.(2014·广东高考文科·T18)(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠,折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.(1)证明:CF⊥平面MDF.(2)求三棱锥MCDE的体积.【解题提示】(1)可利用PD⊥平面ABCD,证明MD⊥平面CDEF.(2)只需求高MD及△CDE的面积,即可求得结论.【解析】(1)因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥MD.在矩形ABCD中MD⊥CD,又PD∩CD=D.所以MD⊥平面CDEF,所以MD⊥CF.又因为MF⊥CF,所以CF与相交直线MD和MF都垂直,故CF⊥平面MDF.(2)在△CDP中,CD=AB=1,PC=2,则PD=,∠PCD=60°;CF⊥平面MDF,则CF⊥DF,CF=,DF=.因为EF//DC,所以=,DE=,PE==ME,S△CDE=CD·DE=.由勾股定理可得MD==,所以VMCDE=MD·S△CDE=.6.（2014·福建高考文科·Ｔ19）．（本小题满分12分）如图，三棱锥中，.（1）求证：平面；（2）若，为中点，求三棱锥的体积.【解题指南】（1）利用线面平行的判定定理证明．（2）分别求出的面积和高CD，继而求出体积．或利用VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD求解．【解析】（1） 平面BCD，平面BCD，∴.又 ，，平面ABD，平面ABD，∴平面.（2）由平面BCD，得. ，∴. M是AD的中点，∴.由（1）知，平面ABD，∴三棱锥C-ABM的高，因此三棱锥的体积.解法二：（1）同方法一.（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，如图，过点M作交BD于点N.则平...
