中档题保分练(三)1．(2018·驻马店模拟)数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2－.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝1时，a1＝2－＝；当n≥2，nan＝2－－＝，可得an＝，又∵当n＝1时也成立，∴an＝.(2)bn＝＝＝2，∴Tn＝2＝2＝－.2．(2018·聊城模拟)甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人中任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．(1)完成如下2×2列联表及格不及格合计女男合计(2)根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？(3)从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：K2＝.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解析：(1)及格不及格合计女402060男302050合计7040110(2)由K2＝＝≈0.524＜2.706，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关．(3)由题意可知X～B，∴E(X)＝n·p＝，∴D(X)＝np(1－p)＝3××＝.3．(2018·临川一中模拟)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60˚，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；(2)设BD与AC交于O点，求二面角BOB1C平面角的正弦值．解析：(1)证明：设AC，BD交于点O，连接A1O，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵A1B＝A1D，O是BD的中点，∴A1O⊥BD，AC∩A1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1，又∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1.(2)∵AA1＝A1C，O是AC的中点，∴OA1⊥AC，OA1，OA，OB两两垂直，以OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设AA1＝A1C＝AB＝2，由题得BD＝2，AC＝2，OA1＝1，则A(，0,0)，C(－，0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0,1)，设m＝(x，y，z)是平面OBB1的一个法向量，OB＝(0,1,0)，BB1＝AA1＝(－，0,1)，⇒，可得m＝(1,0，)，设n＝(x，y，z)是平面OB1C的一个法向量，OC＝(－，0,0)，OB1＝OB＋BB1＝OB＋AA1＝(0,1,0)＋(－，0,1)＝(－，1,1)，⇒，可得n＝(0,1，－1)，cos〈m，n〉＝＝＝－，∴二面角BOB1C平面角的正弦值为＝.4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2sin(θ＋)(θ为参数)．(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系．解析：(1)消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1；ρ＝2sin(θ＋)，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得圆C的直角坐标方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)圆心C到直线l的距离d＝＝<，所以直线l和圆C相交．(选修4－5：不等式选讲)已知f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式：f(x)≤x＋3；(2)不等式|m|·f(x)≥|m＋2|－|3m－2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．解析：(1)①⇒2≤x≤6，②⇒1＜x＜2，③⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0,6]．(2)①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即f(x)≥－对m恒成立，－≤＝4，当且仅当≥3，即0＜m≤时取等号，∴f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥4，解得x∈∪.
