专项突破训练(一)函数与方程思想(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2015·安徽蚌埠质检)若复数(2＋ai)(1－i)(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则a的值为()A．－2B．－1C．1D．2答案：A解析：(2＋ai)(1－i)＝(2＋a)＋(－2＋a)i，由复数(2＋ai)(1－i)(a∈R)是纯虚数，得复数2＋a＝0，则a＝－2.故选A.2.(2015·河北保定期末)已知等比数列中，若4a1，a3,2a2成等差数列，则公比q＝()A．1B．1或2C．2或－1D．－1答案：C解析：因为a3＝a1q2,2a2＝2a1q，则有2a1q2＝4a1＋2a1q，解得q＝－1或q＝2.故选C.3．(2015·广西桂林、防城港联考)设点P在曲线y＝x2上，点Q在直线y＝2x－2上，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.答案：A解析：设点P(x，y)，则|PQ|的最小值为点P到直线y＝2x－2的距离的最小值．因为点P到直线y＝2x－2的距离d＝＝＝，当x＝1时，d有最小值.故选A.4．(2015·四川成都一诊)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1＝1.在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长．则当点P运动时，HP2的最小值是()A．21B．22C．23D25答案：B解析：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则H(4,0,3)，P(x,4，z)，F(1,4,3)，又点P到平面CDD1C1的距离等于PF的长，所以有x＝，得(z－3)2＝2x－1，所以HP2＝(x－4)2＋(4－0)2＋(z－3)2＝x2－6x＋31＝(x－3)2＋22≥22，当x＝3时，HP2的最小值为22.5．(2015·河南郑州质量预测)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则CM·CN的取值范围为()A.B．[2,4]C．[3,6]D．[4,6]答案：D解析：解法一：以点C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，直线AB的方程为x＋y＝3，设M(x,3－x)，则N(x＋1,2－x)(0≤x≤2)，∴CM·CN＝x(x＋1)＋(3－x)(2－x)＝2x2－4x＋6＝2(x－1)2＋4(0≤x≤2)，当x＝0或2时，取最大值6，当x＝1时，取最小值4.解法二：设|AM|＝x，则|AN|＝x＋，(0≤x≤2)，而CM＝CA＋AM，CN＝CA＋AN，然后再利用向量的数量积进行运算，转化为关于x的二次函数解决问题．6．(2015·河南六市调研)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，λ·μ＝，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案：A解析：由OP＝λOA＋μOB，A，B，P三点共线，所以λ＋μ＝1，又λ·μ＝，解之得λ＝，μ＝或λ＝，μ＝(点A，B标注位置不同导致λ，μ不同)，取λ＝，μ＝，得OP＝OA＋OB，消去O可得：PB＝3PA，则|PB|＝2|PF|，所以＝2，∴c＝2b，从而可得离心率e＝＝＝.二、填空题(每小题5分，共20分)7．(2015·广东揭阳一模)若点(a,27)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为________．答案：解析：因为点(a,27)在函数y＝3x的图象上，则27＝3a，解得a＝3，则tan＝tan＝.8．(2015·河北唐山模拟)曲线y＝alnx(a>0)在x＝1处的切线与两坐标所围成的三角形的面积为4，则a＝________.答案：8解析：令f(x)＝y＝alnx，则f′(x)＝，∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln1＝0，故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)，令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝－a， a>0，∴所围成的三角形的面积为×a×1＝4，∴a＝8.9．(2015·苏北四市一模)在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45°，点D满足CD＝2DB，且AD＝，则BC的长为________．答案：3解析：以点A为坐标原点，AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(3,0)，由∠A＝45°，可设B(m，m)(m＞0)，D(x，y)，由CD＝2DB，得(x－3，y)＝2(m－x，m－y)，由此，得解得即D，由AD＝，得2＋2＝13，解得m＝3，或m＝－(舍去)，则B(3,3)，即BC的长为3.10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C＝，sinA＝，c－a＝5－，则b＝________.答案：解析：在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝＝，又c－a＝5－，得c＝5，a＝，由sinA＝，得cosA＝＝，cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC＝.则b2＝a2＋c2－2accosB＝10＋25－2×5××＝5，则b＝.三、解答题(每题...
