高中数学 课后作业20 函数的最大（小）值 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题VIP专享VIP免费

课后作业(二十)复习巩固一、选择题1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为()A．f(2)，f(－2)B．f，f(－1)C．f，fD．f，f(0)[解析]根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f.[答案]C2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是()A．10,5B．10,1C．5,1D．以上都不对[解析]因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.[答案]B3．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是()A.，0B.，0C.，D．最小值为－，无最大值[解析]因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝，当x＝5时，ymin＝.故选C.[答案]C4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．0[解析]由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.[答案]C5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)[解析]令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又 x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.[答案]C二、填空题6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．[解析]因为函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝，ymax＝1，所以ymax－ymin＝1－＝.[答案]7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．[解析]函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值． 当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.[答案]18.如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m.[解析]由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，若x＝1，函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋＝(m)．于是水流喷出的最高高度是m.[答案]三、解答题9．已知函数f(x)＝.(1)证明：函数f(x)在上是减函数；(2)求函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值．[解](1)证明：设x1、x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，则f(x1)－f(x2)＝－＝.由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是减函数．(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.10．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值．[解]函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：①当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；③当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.综上可知f(x)的最小值为f(x)min＝综合运用11．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对[解析] x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.[答案]A12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，2]D．[1,2][解析]f(x)＝(x－1)2＋2， f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.[答案]D13．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该...